Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=3x^2+3

функция убывает : (-оо; -3]; и возрастает: [-3; +oo)

Эти промежутки находятся между точками экстремумов.
Поэтому сначала найдем точки экстремумов.
К ним относятся:
- точки максимумов — где функция перестает возрастать и начинает убывать
- и точки минимумов — где функция перестает убывать и начинает возрастать.

В тех и других точках производная функции равна нулю.

Найдем производную функции:
y = 3x² + 3

Производная от x² равна 2x.
Производная от свободного члена 3 равна нулю, так как это константа.
y' = 3 • 2x + 0 = 6x

Теперь найдем точки, в которых y' = 0
6x = 0
x = 0

Это и есть точка экстремума, в которой убывание сменяется возрастанием или наоборот. В этой точки производная может изменить знак.

Но как узнать, где убывает, а где возрастает?
Достаточно определить знак производной слева и справа от экстремума.
Если производная меньше нуля, то функция убывает.
Если больше нуля, то возрастает.

Итак, наша точка экстремума — x = 0.
Слева от нее — например, x = −1.

y'(−1) = 6 • (−1) = −6 < 0
На промежутке слева функция убывает.

y'(1) = 6 • 1 = 6 > 0
На промежутке справа функция возрастает.

Ответ: (−∞; 0) — промежуток убывания.
(0; +∞) — промежуток возрастания.