Известно, что lim x→2 f(x)=3 и lim x→2 g( x)= -1 определите будут ли следующие функции непрерывными в точке 3:

Для того, чтобы определить, будут ли данные функции непрерывными в точке 3, нам необходимо убедиться, что каждая из них имеет конечное значение в этой точке и что они непрерывны в этой точке.

a) 2f(x) + g(x)

Мы знаем, что lim x→2 f(x) = 3 и lim x→2 g(x) = -1. По определению предела мы можем сказать, что f(x) и g(x) могут быть произвольно близко к своим пределам вблизи точки 2, но не равны им в этой точке. Поэтому, чтобы определить, будет ли 2f(x) + g(x) непрерывна в точке 3, нам нужно посчитать ее значение в этой точке:

2f(3) + g(3) = 2lim x→2 f(x) + lim x→2 g(x) = 2(3) + (-1) = 5

Значение функции в точке 3 существует и конечно, поэтому мы можем сказать, что функция 2f(x) + g(x) непрерывна в точке 3.

b) f(x)/g(x) + 2

Аналогично, чтобы определить, будет ли f(x)/g(x) + 2 непрерывна в точке 3, нам нужно посчитать ее значение в этой точке:

f(3)/g(3) + 2 = lim x→2 f(x)/g(x) + 2

Однако, мы знаем, что g(2) = -1, а значит, g(3) не существует (так как точка 3 не принадлежит области определения функции g(x)). Поэтому f(x)/g(x) не определено в точке 3, и мы не можем сказать, что функция f(x)/g(x) + 2 непрерывна в точке 3.

Не известно