Докажите, что выражение x^2-8x+44 принимает положительное значение при всех значениях x.

х^2-8х+44=(x-4)^2+28
(x+4)^2≥0
28>0
х^2-8х+44>0

Квадратное уравнение представлено в виде:
y = a*x^2 + b*x + c (1)
x^2 - 8x + 44 - по условию.
Обратимся к формуле для вычисления корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
x1,2 = [- b +/-√(b^2 - 4*a*c)]/(2*a) (2)
Из (2) рассмотрим выражение для дискриминанта:
D = (b^2 - 4*a*c); (3)
Подставим значения коэффициентов "a", "b", "c" в (3) из исходного уравнения:
D = (-8)^2 - 4*1*44; или:
D = 64 - 176 = - 112;
Видим, что дискриминант (подкоренное выражение) D < 0.
Это означает, что парабола с осью OX не пересекается и расположена над осью OX.
{Дополнительно, для справки:
1) если дискриминант D > 0, то уравнение (1) имеет два различных корня - парабола пересекает ось OX в двух точках;
2) если D = 0, то уравнение (1) имеет один корень - парабола касается оси OX в одной точке;
3) если D < 0, то уравнение (1) не имеет действительных корней - нет пересечения параболы с осью OX}
Знак у коэффициента "a" - Плюс, поэтому ветви параболы направлены вверх (если перед "a" стоял бы знак Минус, то ветви параболы были бы направлены вниз).
Т. к. парабола расположена в верхней полуплоскости (над осью OX, где "y" - всегда больше нуля), то выражение:
"x^2 - 8x + 44" при всех значениях "x" - всегда будет принимать только положительные значения.