Алгебра. Найдите область определения выражения √(x^2+x-6).

(-<>; -3] u[2;+<>)

Чтобы найти область определения выражения √(x^2+x-6), мы должны учесть два условия и два определения:

Аргумент под корнем должен быть неотрицательным числом, так как квадратный корень определен только для неотрицательных чисел.

Выражение внутри корня не должно равняться нулю, так как в этом случае мы получили бы деление на ноль, что недопустимо.

Первое условие: x^2+x-6 ≥ 0. Для решения этого неравенства мы можем использовать метод интервалов или факторизацию: x^2+x-6 = (x+3)(x-2). Теперь мы видим, что выражение имеет ноль в точках x = -3 и x = 2. Эти точки делят ось x на три интервала: (-∞, -3), (-3, 2), и (2, +∞).
Мы можем выбрать по одной точке из каждого интервала и проверить их знак в исходном неравенстве:
Для x = -4: (-4+3)(-4-2) = (-1)(-6) = 6 > 0 (верно)
Для x = 0: (0+3)(0-2) = (3)(-2) = -6 < 0 (неверно)
Для x = 3: (3+3)(3-2) = (6)(1) = 6 > 0 (верно)
Итак, условие x^2+x-6 ≥ 0 выполняется для интервалов (-∞, -3) и (2, +∞).

Второе условие: x^2+x-6 ≠ 0
Мы уже факторизовали выражение: (x+3)(x-2) ≠ 0.
Это неравенство не имеет решений, когда произведение двух чисел не равно нулю. В данном случае, чтобы неравенство выполнялось, ни (x+3), ни (x-2) не должны быть равны нулю.
Таким образом, x ≠ -3 и x ≠ 2.

Объединяя оба условия, мы получаем область определения выражения √(x^2+x-6): (-∞, -3) ∪ (-3, 2) ∪ (2, +∞), исключая точки x = -3 и x = 2.