Решить неравенство log2(x^2-x-2)>=2

㏒₂(x²-x-2) ≥ 2 = ㏒₂4
Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то находим ОДЗ(х), решая неравенство:
x²-x-2 > 0
(x+1)(x-2) > 0
x∈(-∞;-1)∪(2;+∞)
ОДЗ(х) = (-∞;-1)∪(2;+∞)
Решаем исходное неравенство, сведя его к квадратному неравенству:
Так как основание логарифмов одинаково и больше единицы, то х²-х-2≥4
x²-x-6 ≥ 0
(x+2)(x-3) ≥ 0
x∈(-∞;-2]∪[3;+∞) - это множество является подмножеством области допустимых значений для х, поэтому
Ответ: x∈(-∞;-2]∪[3;+∞)

Для решения данного неравенства, необходимо использовать свойство логарифма:

log2(a) >= b <=> a >= 2^b

Применим это свойство к исходному неравенству:

log2(x^2 - x - 2) >= 2 <=> x^2 - x - 2 >= 2^2 = 4

Таким образом, мы получили квадратное неравенство. Решим его:

x^2 - x - 2 >= 4 <=> x^2 - x - 6 >= 0

Далее, найдем корни этого квадратного уравнения:

x1,2 = (1 ± sqrt(1 + 24)) / 2 = (1 ± 5) / 2

x1 = 3, x2 = -2

Полученные значения являются точками пересечения графика функции y = x^2 - x - 6 с осью абсцисс. Неравенство x^2 - x - 6 >= 0 выполняется на интервалах (-∞,-2] и [3,+∞).

Теперь необходимо проверить выполнение исходного неравенства на этих интервалах. Для этого рассмотрим знак выражения log2(x^2 - x - 2) - 2 на каждом из интервалов.

На интервале (-∞,-2] имеем:

log2(x^2 - x - 2) - 2 < 0, так как левая часть неравенства меньше 2, а правая равна 2.

На интервале [3,+∞) имеем:

log2(x^2 - x - 2) - 2 >= 0, так как левая часть неравенства больше или равна 2, а правая равна 2.

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал (-∞,-2] объединенный с интервалом [3,+∞):

x ∈ (-∞,-2] ∪ [3,+∞).