x^4-4*x^3-2*x^2+12*x+9=0 Желательно с пояснением

Уравнение вида ax^4+bx^3+cx^2+dx+m, где m/a=d^2/b^2 решается как возвратное (делением на x^2 и последующей заменой). Гугли возвратное уравнение.
Здесь есть: http://mmetodika.narod.ru/page/urav2.htm#д
В данном случае еще можно выделением полного квадрата:
x^4-4x^3-2x^2+12x+9=0
(x^4-4x^3+4x^2) -6x^2+12x+9=0
(x^2-2x)^2 -6(x^2-2x) +9=0
(x^2-2x-3)^2=0
x^2-2x-3=0
x=-1, x=3

Один из корней = -1
Делим x^4-4*x^3-2*x^2+12*x+9 на (x+1), получим
x^3-5x^2+3x+9
Корень этого многочлена = -1
Делим на (x+1), получим
x^2-6x+9=(x-3)^2
x^4-4*x^3-2*x^2+12*x+9=0
(x-3)^2(x+1)^2=0
x=3
x=-1

https://znanija.com/task/3209947

x^4+4x^3-2x^2-12x+9=0
Уравнение с целыми коэффициентами, приведённое.
Если это уравнение имеет рациональные корни, то они все целые и являются делителем числа 9.
Делители числа 9: 1;-1;3;-3;9;-9.
Рассмотрим сумму коэффициентов:
1 + 4 - 2 - 12 + 9 = 0 => х = 1 - корень уравнения.
Разделим данный многочлен на двучлен х - 1.
(x^4+4x^3-2x^2-12x+9)/(x-1) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1

Получаем:
(x - 1)(x^3 + 5x^2 + 3x - 1) = 0
Рассмотрим второе уравнение:
x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0
Уравнение с целыми коэффициентами, приведённое.
Если это уравнение имеет рациональные корни, то они все целые и являются делителем числа -1.
Делители числа -1 : 1; -1
Рассмотри сумму коэффициентов:
1 + 5 + 3 - 1 = 8 => x = -1 - не является корнем уравнения.
Рассмотрим сумму коэффициентов при четных степенях: 5 - 1 = 4
Рассмотрим сумму коэффициентов при нечётных степенях: 1 + 3 = 4
Значит х = 1 - корень уравнения
Ответ: корнем исходного уравнения является число х = 1.

x^4+4x^3-2x^2-12x+9=0
Уравнение с целыми коэффициентами, приведённое.
Если это уравнение имеет рациональные корни, то они все целые и являются делителем числа 9.
Делители числа 9: 1;-1;3;-3;9;-9.
Рассмотрим сумму коэффициентов:
1 + 4 - 2 - 12 + 9 = 0 => х = 1 - корень уравнения.
Разделим данный многочлен на двучлен х - 1.
x^4+4x^3-2x^2-12x+9|x-1
-x^4+x^3 x^3 + 5x^2 + 3x - 1
5x^3 - 2x^2
-5x^3 + 5x^2
3x^2 - 12x
-3x^2 + 3x
-9x + 9
-9x - 9
0
Получаем:
(x - 1)(x^3 + 5x^2 + 3x - 1) = 0
Рассмотрим второе уравнение:
x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0
Уравнение с целыми коэффициентами, приведённое.
Если это уравнение имеет рациональные корни, то они все целые и являются делителем числа -1.
Делители числа -1 : 1; -1
Рассмотри сумму коэффициентов:
1 + 5 + 3 - 1 = 8 => x = -1 - не является корнем уравнения.
Рассмотрим сумму коэффициентов при четных степенях: 5 - 1 = 4
Рассмотрим сумму коэффициентов при нечётных степенях: 1 + 3 = 4
Значит х = 1 - корень уравнения
Ответ: корнем исходного уравнения является число х = 1.