№10 вычислите косинус между векторами а и в если а {0; 3; -4} и в {2; 1; 2} №6 решите показательные уравнения а) и в)

a). Модуль скалярного произведения векторов - это выражение: a*b = |a|*|b|*cos(f).
тогда cos(f) = a*b/(|a|*|b|).
Модуль вектора - это квадратный корень от суммы квадратов его компонент: a = (ax, ay, az) => |a| = Корень (ax^2+ay^2+az^2).
В нашем случае |a| = корень (0^2 +(-3)^2 + 4^2) = корень (9+16) = корень (25) = 5
Модуль вектора b = корень (1+4+1) = корень (6)

Скалярное произведение векторов - это сумма произведения соответствующих компонент векторов: a*b = ax*bx + ay*by + az*bz. В нашем случае
a*b = 0*2+3*1+(-4)*2 = 5
Итак, cos(f) = 5/(5*корень (6)) = 1/корень (6)

б) 4^x = 16^(2x-2). для решения нужно, чтобы в степень возводились одинаковы числа. То есть, посколько 16 = 4^2, выражение перепишется как:
4^x = 4^(2*(2x-2)). Если возводятся одинаковые числа, то и показатели степени должны быть одинаковы, получим уравнение: x = 4*x - 4
3x = 4 => x = 4/3.

3^(x-1) - 3^(x-2) = 18. Домножим левую и правую часть на 3^2, получим:
3*3^x - 3^x = 18*9 = 162
Вынесем 3^x за скобки: 3^x * (3-1) = 162 => 3^x = 81.
x выражается как логарифм числа 81 по основанию 3, x = log_3(81) = 4.
Ответ: x = 4

в) log_7(x) = 2 => x = 7^2 = 49.

log_(5^2)(x) - 2*log_5(x) = 6.
Воспользуемся свойство перехода к новому основанию в логарифмах:
log_a(b) = log_c(b)/log_c(a)
В нашем случае перейдём к основанию 5. получим:
log_25(x) = log_5(x)/log_5(25) = log_5(x)/2

Уравнение стало: log_5(x)/2 - 2*log(5x) = 6
Домножим левую и правую части на 2:
log_5(x) - 4*log_5(x) = 12
log_5(x) * (1-4) = 12
log_5(x) = -4
x = 5^(-4)
Ответ: x = 1/625