Решите 11 задание ЕГЭ по профильной математике. Найдите наименьшее значение функции y=xѴx-3x+9 [1;10]

Ответ

Для решения данной задачи нам необходимо найти наименьшее значение функции y = x√(x) - 3x + 9 на интервале [1; 10].

1. Вычислим значение функции на границах интервала, то есть при x = 1 и x = 10:
- При x = 1: y = 1√(1) - 3(1) + 9 = 1 - 3 + 9 = 7.
- При x = 10: y = 10√(10) - 3(10) + 9 = 10√(10) - 30 + 9.

2. Найдем производную функции y по x:
y' = (1/2)√(x) + x(1/2)√(x) - 3.

3. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки функции:
(1/2)√(x) + x(1/2)√(x) - 3 = 0.
Перенесем -3 на другую сторону:
(1/2)√(x) + x(1/2)√(x) = 3.
(1 + x)√(x) = 6.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(1 + x)²(x) = 36.
(1 + x)²x - 36 = 0.

4. Решим полученное уравнение:
Разложим на множители: x(x + 2)(x - 18) = 0.
Получаем три решения: x₁ = 0, x₂ = -2, x₃ = 18.

5. Проверим значения функции на найденных критических точках:
- При x = 0: y = 0√(0) - 3(0) + 9 = 9.
- При x = -2: y = -2√(-2) - 3(-2) + 9.
- При x = 18: y = 18√(18) - 3(18) + 9.

6. Сравним значения функции на границах интервала, критических точках и найдем наименьшее значение:
Наименьшее значение функции будет находиться либо в одной из критических точек, либо на границах интервала.
Найденные значения функции сравниваем и выбираем наименьшее.

Подставив значения x = 1, x = 10, x = 0, x = -2, x = 18 в функцию y, можно сравнить значения и найти наименьшее.

Пожалуйста, используйте эти шаги для расчета наименьшего значения функции и получения ответа.