Найти наименьшее и наибольшее значение функции на квадрате

z(x,y)=(расстояние между точками (1,0) и (х, y))² +y²
Поэтому оно будет наименьшее в самой близкой от (1,0) точке, т. е. (1,1), а наибольшее в самой далекой - (0,2)

В точке (1,0) будет минимум, для этого нужно составить определитель из вторых производных. А наибольшее значение будет на какой-то из границ квадрата. Для этого нужно рассмотреть 4 случай: х=0, х=1, у=1 и у=2, т. е. найти условные экстремумы. В каждом из этих случаев функция Z будет зависеть только от одной переменной. Найти для всех 4 функций наибольшие значения и сравнить их между собой.

Это элементарная задача квадратичного программирования с линейными ограничениями, так как тут квадратичная функция задана в выпуклой области, образованной четырьмя прямыми отрезками. Самое главное, что максимум этой функции может лежать только на границе этой области. Как уже́ сказано, есть 4 отрезка, составляющих границу, и надо их все перебрать:
1. x = 0, z = 2y² + 1, максимум в точке (0, 2) равен девяти.
2. х = 1, z = 2y², максимум в точке (1, 2) равен восьми.
3. y = 1, z = (x - 1)² + 2, максимум в точке (0, 1) равен трём.
4. y = 2, z = (x - 1)² + 8, максимум в точке (0, 2) равен девяти, как и в первом случае, так как прямые х = 0 и у = 2 пересекаются в точке (0, 2).
Ответ: max z(x, y) = z(0, 2) = 9.