Найдите наименьшее четырехзначное число, имеющее наибольшее число различных делителей.

Полагаю, это число 7560: у него 64 различных делителя

Количество делителей числа A, разложенного на простые множители каноническим образом: A = p1^a1 * p2^a2 * ...* pn^an, где p1, p2, ..pn - простые числа, a1, a2, ..an - натуральные числа, равно (a1 + 1)(a2 + 1)...(an + 1).

Действительно, каждый показатель при простом множителе pi делителя числа A может меняться от 0 до ai, а значит, для него возможно ровно ai + 1 комбинаций, и она может сочетаться с комбинацией любого другого простого множителя, так что получается ровно такое число делителей.

Попробуем составить четырёхзначное число с наибольшим числом делителей, просто перемножая первые несколько простых чисел: 2*3*5*7*11 = 2310. Если умножить это число на следующее простое число 13, то получится уже пятизначное число.
Обратим внимание, что каждое умножение на очередное простое число удваивает количество делителей. Так, у числа 2 только 2 делителя, у числа 2*3 уже 4 делителя (оно делится на число 2^a * 3^b, где a - либо 0, либо 1 - две комбинации, b - тоже либо 0, либо 1 - две комбинации, итого 2*2 = 4 комбинации), и так далее. У числа 2*3*5*7*11 количество делителей равно 2*2*2*2*2 = 32.
Если теперь мы увеличим показатель степени у простого множителя в разложении числа A на 1, то соответствующий сомножитель в выражении для количества делителей тоже увеличится на 1. Так, у числа 2^2 * 3*5*7*11 будет 3*2*2*2*2 = 48 делителей, а у числа 2^3 * 3*5*7*11 - 4*2*2*2*2 = 64 делителя. Последнее число равно 9240 и дальнейшее повышение показателя степени простого множителя уже даёт перебор (пятизначное число).

Выясним, есть ли число, меньшее, но имеющее, как минимум, столько же делителей (лучше - больше). Исследуем число 2^3 * 3*5*7*11. Обратим внимание, что если мы уберём множитель 11, то число делителей уменьшится вдвое, а если изменять показатель степени при 2 так, чтобы оно снова удвоилось, нужно взять его равным 7 (тогда количество делителей будет 8*2*2*2 = 64), т. е. умножить число на 2^4. Но 2^4 = 16 > 11, поэтому число только увеличится (и будет вообще пятизначным). Можно довести показатель при втором множителе до 3. Получится число 2^3 * 3^3 *5*7, имеющее 4*4*2*2 = 64 делителей. При этом мы разделили число на 11 и умножили на 3^2 = 9 < 11, так что число уменьшилось. Новое число равно 7560. Далее, чтобы вновь удвоить число делителей, нужно умножить число либо на 3^4 = 81, либо на 5^2 = 25 (7^2 уже нет смысла проверять). И то, и другое даст перебор, поэтому более нельзя ни уменьшить само число, ни увеличить количество его делителей.

Ту же самую идею оформим более кратко:

Возьмём наименьшее натуральное число 1; у него только 1 делитель - это 1. Тогда согласно вышеуказанному
количество делителей числа удваивается, если:
-либо умножить его на новое простое число, которого ещё не было в разложении предыдущего,
- либо повысить показатель степени при простом множителе в разложении текущего числа до следующей степени двойки минус 1.

Так, если мы возьмём число 1 и умножим его на следующее простое число 2, то у нового числа количество делителей удвоится и станет равным 2.
Умножим его на следующее простое число 3, получим 2*3 = 6, и у него 4 делителя.
Снова удвоить количество делителей можно, если добавить новый простой множитель 5, либо умножить на 2^2 = 4, что меньше 5. Получим число 2^3 * 3 = 24, и у него 8 делителей.
Чтобы снова удвоить количество делителей, мы должны либо умножить число на 5 либо на 3^2 = 9, либо на 2^4 = 16. Нас устраивает первый способ, так что получаем 2^3 * 3*5 = 120 c 16 делителями.

И так далее.

Таким образом, максимальное количество различных делителей, которое может иметь четырёхзначное число, равно 64, и таких чисел два: 9240 и 7560. Наименьшее из них равно 7560.

хотя хз