Найдите наибольшее из значений параметра а, для которого существуют числа х и у, удовлетворяющие уравнению

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно переменной у (можно х) и параметров х и а:
2y² + (x+a)y + (x²+a²-ax-3) =0.
Условие существования корней D≥0:
D=(x+a)²-8(x²+a²-ax-3) = -7x²+10ax-7a²+24 ≥0.
Решаем получившееся неравенство относительно переменной х и параметра а:
D1= (10a)²+28(-7a²+24) = -96(a²-7) ≥ 0, откуда -√7≤a≤√7.
Наибольшее значение параметра а равно √7.
При этом х=5/√7, у=-3/√7 (сначала а=√7 подставим в D, получим (7х-5√7)²≤0, х=5/√7), потом а=√7 и х=5/√7 подставим в исходное уравнение, найдем у).
Ответ: а=√7.

Схематично:
1) Предположим, существует "a", для которого существуют числа х и у, удовлетворяющие уравнению, тогда "a" является корнем квадратного уравнения
a²-a(x-у) +x²+2y²+ху-3=0
a(x,y)=0.5*[(x-y)+/- √D]
2) Следовательно, с необходимостью дискриминант этого уравнения D(x,y)>=0
D(x,y)=-3x²-7у²-6ху+12>=0
Это соотношение определяет внутреннюю область (и границу) эллипса в координатах p=x+y, q=y: (p²/2²)+(q²/((√3)²)=1
3) Это множество является замкнутым и ограниченным, потому согласно товарищу Вейерштрассу непрерывная функция a(x,y) достигает на нем своей sup (точной верхней грани)
4) Далее задача сводится к нахождению таковой для функции
a(x,y)=0.5*[(x-y)+√D] (очевидно имеет смысл рассматривать только "правые" корни)
5) Расписывать я не буду, ибо много. Точка вероятного экстремума (x=(5/7)*√7,y=(-3/7)*√7) Здесь находим значение а=1/√7 либо √7, выбираем второе.
6) Кроме того имеется точка на границе эллипса, значение "а" в которой следует сравнить с а=√7 : х=√(3), у=-√(3).
Соответствующее значение а=√(3)<√7 ,
Эта точка получается из условий √D=0, a=0.5*(x-y)
x-y = скалярному произведению векторов (x,y) -радиус-вектор проведенный из начала координат О (0,0) к точке с координатами (х, у) принадлежащей эллипсу и (1,-1) - вектор с началом в точке О и концом в точке (1,-1)
Это скалярное произведение максимально, если векторы сонаправлены, т. е. если x принадлежит прямой y=-x
Одновременно точка принадлежит эллипсу, подставляя у=-х в уравнение эллипса всё находим.
Ответ а=√7