Найти все значения параметра а

Пусть f(x)=ax^2 - 2(a+1)x + 4a.
Если a=0, то неравенство f(x)<0 примет вид -2x<0, т. е. x>0. Но из x>0 не следует x>1.
Если a<0, то ветви параболы у=f(x) направлены вниз, а значит гарантированно найдутся отрицательные решения неравенства f(x)<0.
Вывод: Задача может иметь решения только при a>0. При этом, решение неравенства f(x)<0 принадлежит интервалу (1;+оо), а значит, трехчлен f(x) имеет два корня >1.
Имеем систему:
{ a>0,
{ D>0,
{ f(1)>0,
{ x(верш.) >1.

{ a>0,
{ (2a+2)^2-4a*4a>0,
{ a-2(a+1)+4a>0,
{ (a+1)/a>1.

Ответ: а є (2/3;1).

Правильный ответ е
а=0

Все очень просто. Решаем, как обычное квадратичное уравнение, только потом зададим неравенство.

Уравнение:
ax^2 - 2(a+1)x + 4a = 0 (приравниваем нулю, и ищем корни такого уравнения, чтобы понять, где эта функция будет больше нуля, а где меньше).

Корни квадратного уравнения вида Ax^2 + Bx + C = 0 ищут по формулам:
1) дискриминант: D = B^2 - 4AC
2) корни x1, x2 = (-B +- √D)/2A

Итак, возвращаясь к нашему уравнению: ax^2 - 2(a+1)x + 4a = 0
Здесь у нас:
A = a
B = -2(a+1)
C = 4a

Тогда D = B^2 - 4AC = (-2(a+1))^2 - 4*a*4a = 4a^2 + 8a + 4 - 16a^2 = -12a^2 + 8a + 4
Тогда корни ищутся по формуле
x1(x2) = (-B +- √D)/2A = (2(a+1) +- √D)/2a.

Чтобы не перегружать решение, дальше я не буду писать полностью, чему равен дискриминант, а просто буду писчать "D". Чуть позже мы его конечно раскроем.

Рассмотрим вот такой момент: у нас в условии задачи сказано, что неравенство должно при некоторых значениях "а" прийти к тому, чтобы x было больше 1: x>1.
Это ничто иное, как условие, что наши корни x1(x2) должны удовлетворять этому неравенству, то есть наши x1(x2) > 1, а следовательно, что мы ищем не корни, а решение вот такого неравенства:

(2(a+1) +- √D)/2a > 1 (при всех значениях D>=0).

То есть, наше решение по поиску подходящих нам "а" сводятся всего лишь к решению системы неравенств:
[1] D >= 0
[2] (2(a+1) +- √D)/2a > 1

Окей, теперь пора вспомнить, чему равен дискриминант, ведь мы его нашли уже выше:
D = -12a^2 + 8a + 4

Тогда система неравенств будет такой:
[1] -12a^2 + 8a + 4 >= 0
[2] (2(a+1) +- √(-12a^2 + 8a + 4))/2a > 1

Решить систему неравенств - это значит найти все значения некой переменной, при которой эти неравенства буду выполняться одновременно. То есть найти такие значения "а", при которых и [1] и [2] будут верны!

Ищем корни по неравенству [1]: -12a^2 + 8a + 4 >= 0
Для этого решим обычное квадратное уравнение:
-12a^2 + 8a + 4 = 0,
и найдем нужные нам "а", при которых у нас функция пересекает ось абсцисс (а следовательно меняет знак с плюса на минус и наоборот!).
То есть по точно такой же логике, как описано выше, найдем дискриминант и корни уже для этого уравнения:
Дискриминант = 8^2 - 4*(-12)*4 = 64 + 192 = 256
Тогда корни:
a1 = (-8 - √256) / 2*(-12) = (-8 - 16) / -24 = -24/-24 = 1
a2 = (-8 + √256) / 2*(-12) = (-8 + 16) / -24 = 8/-24 = -1/3
Теперь, чтобы понять где наше неравенство верно, надо понять при каких "a" оно больше нуля. Просто подставим любое число из диапазона a = -1/3 ...1 в уравнение и посмотрим, чему оно равно: пусть а=0, тогда -12*0^2 + 8*0 + 4 = 4
То есть функция "-12a^2 + 8a + 4" равна 4 (БОЛЬШЕ НУЛЯ) в точке a=0, а следовательно эта функция БОЛЬШЕ НУЛЯ во всех точках "а" принадлежащих диапазону а = -1/3 ...1 (не включая эти точки), и МЕНЬШЕ ЛИБО РАВНО НУЛЮ при всех остальных значениях "а".

Итак, неравенство [1] мы решили, вот его ответ:
[1] -12a^2 + 8a + 4 >= 0 верно при а = -1/3 ...1

Теперь решим второе неравенство [2]: (2(a+1) +- √(-12a^2 + 8a + 4))/2a > 1
Ничего страшного здесь нет, просто выполним несколько преобразований. Нам надо избавиться от корня, для начала, он нам просто мешает. Домножим обе части неравенства на "2а", т. к. именно оно стоит в знаменателе в левой части:

2а*(2(a+1) +- √(-12a^2 + 8a + 4))/2a > 2а*1 =>
=> (2(a+1) +- √(-12a^2 + 8a + 4)) > 2а

Теперь раскроем скобки: 2a + 2 +- √(-12a^2 + 8a + 4) > 2а
Теперь перенесем наши значения без знака корня "2а + 2" в правую часть, не забыв сменить знак:
+- √(-12a^2 + 8a + 4) > 2а - 2а - 2
то есть получилось +- √(-12a^2 + 8a + 4) > - 2

** Продолжение этого решения смотри в моих комментариях ниже (пришлось разбить на несколько, т. к. решение длинное, а кол-во символов ограниченно) **