Исследовать функцию и построить ее график

Функция непрерывна на хЄ(-оо; +оо) - вертикальных асимптот нет
y' = 2x^2*e^(-x) - x^3*e^(-x) = x^2*e^(-x)*(2 - x)
Две стационарные точки: х=0 и х=2
При х<0 получаем y' >0, т. е. функция возрастает
При 0<x<2 получаем y' >0, т. е. функция возрастает.
Отсюда следует, что х=0 точка перегиба
При x>2 получаем y'<0, т. е. функция убывает
Отсюда следует, что х=2 точка максимума
При x --> +oo lim x^3*e^(-x) = lim x^3/e^x = 0 (получим по правилу Лопиталя)
Отсюда следует, что х = 0 горизонтальная асимптота при x --> +oo
При x --> +oo lim x^3*e^(-x) = +оо, т. е. горизонтальной асимптоты нет
По этой же схеме нужно исследовать и вторую функцию

а) Функция у (х) =x³exp(-x) ни чётная, ни нечётная апериодическая общего вида. При х>0 положительна, при х<0 отрицательна. Всюду непрерывна и дифференцируема любое количество раз. График пересекается с осями ОХ и ОY в начале координат (0, 0).
D(y) = R = (-∞; +∞)
lim(x→-∞) y(x) = -∞
lim(x→+∞) y(x) = 0
y' = 3x²exp(-x) - x³exp(-x) = x²·(3 - x)·exp(-x)
Функция имеет две критические точки х=0 и х=3. Так как производная у'≥0 при х≤3 и у'≤0 при х≥3, то областью возрастания будет (-∞; 3], а областью убывания [3; +∞). Точка х=3 получается точкой глобального максимума, поэтому область значений функции E(y) = (-∞; 27/e³). Других экстремумов нет. Вертикальных и наклонных асимптот нет. Есть горизонтальная асимптота у=0.
y'' = [(3x² - x³)·exp(-x)]' =
= (6x - 3x² + x³ - 3x²)·exp(-x) =
= x·(x² - 6x + 6)·exp(-x)
x1,2,3 = 0, ½·(6 ± √12) = 3 ± √3
Вторая производная положительна, если хє(0;3-√3)U(3+√3;+∞), и отрицательна, когда хє(-∞;0)U(3-√3;3+√3). Область вогнутости (-∞;0]U[3-√3;3+√3], область выпуклости [0;3-√3]U[3+√3;+∞). Точки х=0, х=3-√3 и х=3+√3 - это точки перегиба. Для построения графика вручную нужно составить сводную таблицу значений, а компьютерные графики представлены ниже. В точках перегиба принято строить отрезки касательных.
б) Функция у (х) =2х-3·³√х² ни чётная, ни нечётная, апериодическая общего вида. D(y) = R = (-∞;+∞). График пересекается с осью абсцисс в точках х=0 и х=3,375, с осью ординат в начале координат. При хє(-∞;0)U(0;3,375) функция отрицательна, при хє(3,375;+∞) положительна, непрерывна во всей своей области определения и дифференцируема любое число раз всюду, кроме точки х=0.
lim(x→-∞)y(x)=-∞, lim(x→+∞)y(x)=+∞
y' = 2 - 2/³√x. Критическая точка функции х=1. При хє(0;1) производная отрицательна, следовательно функция убывает, при хє(-∞;0)U(1;+∞) производная положительна и функция возрастает, а точка (1;-1) является точкой минимума.
lim(x→-0)y'(x)=+∞, lim(x→+0)y'(x)=-∞. В точке х=0 производная не существует, а односторонние бесконечные пределы меняют знак с плюса на минус, так что (0;0) - это точка максимума. Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.
y'' = [-2·x^(-⅓)]' = ⅔·x^(-⁴/3). Кроме как в точке х=0 вторая производная всюду положительна, следовательно функция всюду выпуклая, без перегибов.