Как решить такое тригонометрическое уравнение?

Скорей всего, что-то не то в условии. Если нет, то замена: sinx + cosx = t
(подводишь уравнение до нужного вида)
Получаем уравнение четвертой степени с двумя действительными корнями. Один из них 62/99 дает значение х≈-26°
(Решение приблизительное, так как много мороки)
sin(-52°) + 2cos(-26°) ≈ 1,00957…… ≈ 1

Полагаю, у этого уравнения красивых корней нет, т. к. при замене tg(x/2) = t получаем алгебраическое уравнение относительно t с очень некрасивыми корнями (с уймой кубических радикалов).
Решай численно.
Ну или удостоверься, что уравнение требуется именно РЕШИТЬ, а не сделать с ним что-то другое (например, оценить кол-во корней на каком-то промежутке).

Ну, может, я и ошибся где, но сильно трахаться с перепроверкой себя не хочу, т. к. в интернетах нынче слишком много некачественных вопросов водится.

Ты пробовал после раскрытия двойного угла вынести 2cosx за скобки? Единицу можно представить как cos²x + sin²x.

А дальше надо решать вот как
2sinx*cos x + 2cos x = 1
cos x*(sin x + 1) = 0.5
Итак. Это верно, если:
1) cos x = 0.5 и при этом sin x = 0
2) cos x = 1 и при этом sin x = -0.5
3) сos x = -0.5 и при этом sin x = -2 - тут очевидно нету корней
4) cos x = -1 и при этом sin x = -1.5 - тут тоже нет корней.
Далее решаете 1) как систему уравнений, также 2). Ответ на задачу будет совокупностью ответов 1) и 2)
Этот метод называется метод оценки.

графически попробуй решить