Решите ,пожалуйста, одно уравнение

Что-то вы усложняете...

 4 ∙ 4ᵡ - 2ᵡ ∙ 3ᵡ - 2 ∙ 9 ∙ 9ᵡ = 0

4 ∙ (2ᵡ)² - 2ᵡ ∙ 3ᵡ - 2 ∙ 9 ∙ (3ᵡ)² = 0

(2ᵡ)² - 2ᵡ ∙ 3ᵡ / 4 - 9 ∙ (3ᵡ)² / 2 = 0 

Норм уравнение получилось...

Надо попробовать разложить выражение на множители.
Какие два числа в сумме дадут -1/4, а в произведении -18/4 = -9/2?
Получится ли решить это в рациональных числах?

Числа должны быть разного знака и несильно отличаться по модулю, т.е. быть близко к (√18)/2.
Как минимум у одного в знаменателе будет 4, но у произведения знаменатель - 2. Значит, второе число - целое и с чётным числителем.
На ум приходят 4 и 4.5, в произведении дающие 18.
Поделим их на 2, возьмём большее с минусом, и попробуем подставить в формулу:

 4/2 = 2

4.5/2 = 9/4

2 - 9/4 = -1/4

2 ∙ (-9/4) = -18/4 

Получилось. Раскладываем левую часть уравнения на множители.

 (2ᵡ + 2 ∙ 3ᵡ)(2ᵡ - 9 ∙ 3ᵡ / 4) = 0

2ᵡ = -2 ∙ 3ᵡ   или   2ᵡ = 9 ∙ 3ᵡ / 4 

Первое уравнение не решается на множестве действительных чисел (любая действительная степень положительного числа положительна).
Второе даёт нам:

 2ᵡ⁺² = 3ᵡ⁺² 

На множестве вещественных чисел степенные функции разного основания могут пересекаться только в точке 0, принимая в ней значение 1 (также есть асимптотическое приближение к 0 при аргументе, стремящемся к -∞, но это в данном случае неинтересно).

 x + 2 = 0

x = -2 

Подставляем, проверяем.

 1/4 - 1/36 - 2/9 = 9/36 - 1/36 - 8/36 = 0 

7^(2x)(7+49+343)=57
7^(2x)=57/399
7^2x=1/7
7^2x=7^(-1)
2x=-1
x=-1/2

4*2^(2x)-6^x-18*3^(2x)=0
делим на 3^(2x)
4*(2/3)^(2x)-(2/3)^x-18=0
(2/3)^x=t
t ≥ 0
4t^2-t-18=0
D=1+288=289
t1=(1+17)/8=9/4
t2=(1-17)/8=-2 посторонний корень
(2/3)^x=9/4
(2/3)^x=(2/3)^-2
x=-2

4^(x+1) + 6^(x) - 2*9^(x+1) = 0
4^(x) * 4^(1) + 6^(x) - 2*9^(x) * 9^(1) = 0
4 * 4^(x) + 6^(x) - 18 * 9^(x) = 0
4 * (2^(2x)) + 2^(x) * 3^(x) - 18 * 3^(2x) = 0 ----> (:) на 3^(2x) =>
4 * (2/3)^(2x) + (2/3)^x - 18 = 0 ------> (2/3)^(x) = t
4t^2 + t - 18 - 0
t1 = -9; t2= 8
t1 = - 9 ------> (2/3)^(x) = - 9 - быть не может (так как (2/2)^(n) > 0 при любых n
t2 = 8 -----> (2/3)^n = 8 -----> n = log(2/3) 8

Ну подели свое уравнение на 2^x*3^x и сделай замену t = 2^x/3^x либо t = 3^x/2^x , потом умножь на t, получится квадратное уравнение относительно t