Может ли показатель корня быть отрицательным? В дробной степени u/d u и d – только натуральные или также целые?

d – только натуральные

1) Степень корня отрицательной не делают, это ни к чему, для этого есть возведение в степень с рациональным показателем.

2) Число в дробную степень ВООБЩЕ НЕ возводят, возводят в рациональную.
Любое рациональное число можно представить дроьбю вида (целое)/(отрицательное целое), поэтому d МОЖЕТ быть отрицательным.
Мало ли, какими дробями можно представить одно и то же число.
1/2 = 2/4 = 3/6 = (-1)/(-2) и т.п.
В школьном определении рационального числа говорят о представлении его дробью вида целое/натуральное, потому что для таких дробей удобно вводить отношение порядка (сравнивать дроби на больще/меньше) - оно очень на правило пропорции похоже получается. Но это не значит, что рациональное число нельзя представить дробью другого вида)))

Кстати, когда строят определение рационального числа через поле частных, его там в определении представляют дробями вида целое/ненулевое_целое. Такие дроби упорядочивать несколько сложнее, но зато числитель и знаменатель у вас одного и того же типа. ̶в̶ы̶б̶и̶р̶а̶ю̶т̶с̶я̶ ̶и̶з̶ ̶о̶д̶н̶о̶й̶ ̶и̶ ̶т̶о̶й̶ ̶ж̶е̶ ̶а̶л̶г̶е̶б̶р̶а̶и̶ч̶е̶с̶к̶о̶й̶ ̶с̶т̶р̶у̶к̶т̶у̶р̶ы̶
Это удобно для дробей каких-нибудь еще видов - например, дробей вида многочлен/ненулевой_многочлен, которыми задают рациональные функции.

Рациональное число вспомните, как определено: число, представимое в виде обыкновенной дроби, у которой числитель - целое число, знаменатель - натуральное. То, что называют корнем n-ой степени, это определенный вид степени с рациональным показателем (1/n). Это ответ на ваш вопрос