Доказать, что целых корней нет, кроме x=y=z=0? 9 класс

Тут используется метод бесконечного спуска, если не ошибаюсь. Бородатая задача очень.

1) x^2 + y^2 + z^2 =(x+y+z)^2 - 2(xy+xz+yz)
(x+y+z)^2 = 2xyz+ 2(xy+xz+yz)
(x+y+z)^2 = 2(xyz+xy+xz+yz)
x+y+z=sqrt(2(xyz+xy+xz+yz))= sqrt(2)*sqrt(xyz+xy+xz+yz)
sqrt - квадратный корень.
sqrt(2)- иррациональное число

2) x^2 + y^2 + z^2 =r^2 - уравнение шара
r^2=2xyz, когда x=y=z=0

Докажем для натуральных чисел, ибо если не существует решения в натуральных числах, то не существует и в целых ( легко доказывается от противного)
1) В правой части - четное число, следовательно все три слагаемых в левой части не могут быть нечётными (иначе сумма была бы тоже нечетной)
2) Пусть х² - чётное, тогда х - тоже чётное, тогда x² делится еще и на 4
3) Тогда 2xyz-х² также делится на 4, отсюда и сумма y²+z² делится на 4
4) Квадрат натурального числа по модулю 4 имеет остатки только 0 или 1
(действительно 0²=0,1²=1,2²=4=0 (mod 4), 3²=9=1 (mod 4))
5) Отсюда следует, что сумма двух квадратов делится на 4 тогда и только тогда, когда оба делятся на 4, т. е. z²= y²=0 (mod 4)
6) Отсюда следует, что и y и z как минимум чётные
7) Мы получили, что все числа x,y,z - чётные, т. е. представимы в виде
х=2m, y=2n, z=2k. Подставим в исходное уравнение, получим:
m²+n²+k²=4mnk
8) Повторяя все приведенные выше рассуждения с п. п. 1-8 получим, что и все числа m,n,k должны быть чётными и так до бесконечности
9) Таким образом, если предположить существование ненулевого решения исходного уравнения (x,y,z) (где ни одно из чисел не равно 0, т. к. равенство 0 хотя бы одного 0 влечет равенство и всех остальных), то всегда можно показать, что любое из чисел этой тройки имеет в составе сколь угодно много 2-ек в качестве простых делителей. Однако любое конечное число содержит конечное число 2-ек в составе своих простых множителей.
Из этого противоречия следует ложность предположения о существовании ненулевого решения уравнения