Как найти значения (3-x)⁴(1-5x)⁵≠0?

Найдём точки, при которых выражение обращается в ноль и исключим их
(3-x)⁴(1-5x)⁵=0
Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0.
(3-x)⁴=0 или (1-5x)⁵=0
Поработаем с 1 условием. Если скобка возводится в чётную степень, то знаки слагаемых в них можно чередовать (получится то же самое, + меняется на – и наоборот)
(x-3)⁴=0
Извлечём корень 4 степени из правой и левой частей. Если извлекается корень чётной степени, то переменную необходимо взять в модуль
|x-3|=0
Модуль переменной равен 0, получится 2 одинаковых корня, его можно опустить
x-3=0, x=3
Поработаем со 2 условием (1-5x)⁵=0
Извлечём корень 5 степени из обеих частей равенства. Если извлекается корень нечётной степени, то переменную брать в модуль не надо
1-5x=0, x=1/5
Должно быть, эти точки надо выколоть
x≠3 и x≠1/5

Второй способ решения
(3-x)⁴(1-5x)⁵≠0 ->
-> (3-x)⁴(1-5x)⁵>0 или (3-x)⁴(1-5x)⁵<0
(x-3)⁴(1-5x)⁵>0 или (x-3)⁴(1-5x)⁵<0
(x-3)⁴(5x-1)⁵<0 или (x-3)⁴(5x-1)⁵>0
x∈(–∞; 1/5) или x∈(1/5; 3) ∪ (3; +∞)
Объединим найденные промежутки
Получается, x∈(–∞; 1/5) ∪ (1/5; 3) ∪ (3; +∞). Можно записать так: x∈(–∞; +∞) \ {1/5, 3}. 1/5 и 3 – граничные точки, в которых выражение обращается в 0

Артем Пермяков

3 672

09.09.2022