Тест по Алгебре 9 класс!

 x - 1 ≥ 0   - полуплоскость справа от вертикальной [синей] линии x = 1

y - x ≤ 0   - полуплоскость справа-снизу от [красной] диагонали y = x - 

y - 2x + 4 ≥ 0 - полуплоскость слева-сверху от [зелёной] наклонной прямой y = 2x - 4 

Три прямых, не пересекающихся в одной точке, образуют треугольник, площадь которого и надо искать.Проще всего посчитать интеграл разности правых частей второго и третьего выражений прямых (т.к. третья прямая находится ниже второй на рассматриваемом интервале).

 y = x

y = 2x - 4 

Пределы интегрирования - это абсциссы точек пересечения:

 x = 1   - т.к. две другие прямые пересекают первую в точках с абсциссой 1

x = 4   - т.к. вторая и третья прямые пересекаются там

(точка пересечения второй и третьей прямых находится аналитически,

вычитаем третье уравнение из второго:

-x + 2x - 4 = 0

x = 4) 

Интегрируем:

 4                   4                        4

∫(x - (2x - 4))dx = ∫ (4 - x)dx = (4x - x²/2)| =

1                   1                        1

  = (16 - 16/2) - (4 - 1/2) = 4.5 

Можно проверить по клеточкам.Бирюзовый (самый нижний) треугольник = половине прямоугольника 1 · 2, площадь 1.
Жёлтый квадратик 1 · 1 = 1.
Розовый треугольник 1/2 · 1 · 1 = 1/2.
Серый треугольник - такой же, как и бирюзовый, площадь 1.
Красный треугольник - такой же, как и розовый, площадь 1/2.
Зелёный треугольник эквивалентен разности бирюзового и розового, площадь 1 - 1/2 = 1/2.
Итого:

 1 + 1 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1/2 = 4.5