Как интуитивно понять механизм работы дробных степеней? Типа 1/2, 1/3 Это ясно, что корни. А вот как интуитивно?

интуитивно можно понять правописание того языка, носителем которого ты являешься
а здесь интуиция, увы, не поможет
поможет лишь определение:
(но предварительно ещё надо усвоить определение ариф. кв. корня)

Не интуитивно, а логически.
Начинать надо с определения натуральной степени.
a^n = a*a*...*a (n раз). n > 1
Из этого сразу следует: a^n * a^m = a^(n+m) (1)
И (при n>m): a^n / a^n = a^(n-m) (2)

Теперь, если мы хотим, штобы формула (2) была верна при любых натуральных n и m, то должны принять:
a^1 = a; a^0 = 1; a^(-n) = 1 / a^n

Если хотим, штобы формула (1) выполнялась для рациональных n и m, то должны, в частности, принять:
a^(1/2) * a^(1/2) = a^1 =a, откуда сразу следует a^(1/2) = sqrt(a)

И так далее.

Я думаю, можно посмотреть вот как. Если мы умножаем что-то на 1/2, то мы, по сути, делим на знаменатель. И так во всех случаях, только, если числитель не единица, там чуть сложнее. Так и тут. Если мы возводим в 2, то умножаем число само на себе дважды, в три - само на себя трижды. А если в 1/2 и 1/3, то мы делаем обратное действием - ищем корень второй или третьей степени из этого числа.

Точно так же, если мы умножаем на 2/3, то, по сути, мы умножаем на два и делим на три. А если возводим в степень 2/3, то мы возводим в степень 2, а потом ищем корень третьей степени. Аналог умножения.