Помогите пожалуйста с алгеброй

Функция f(x) бесконечно гладкая во всей своей области определения D(f)=ℝ=(-∞;+∞).
lim(|x|→∞)f(x) = 1.
По лемме Ферма (локальные) экстремумы гладких функций могут находиться только в их стационарных точках, для которых f'=0.
f' = 4x³/(x⁴+1)² = 0 при х=0, f(0)=0.
При х<0 производная отрицательна, а при х>0 положительна, поэтому промежутки монотонности записываются так:
(-∞;0] - промежуток убывания,
[0;+∞) - промежуток возрастания.
В стационарной точке х=0, входящей одновременно в оба смежных промежутка монотонности и подозрительной на экстремум, происходит смена убывания на возрастание, а поэтому это точка минимума, причём в данном случае глобального. Других экстремумов нет.
У негладких функций (например у функции у=|х|) экстремумы не обязательно находятся в их стационарных точках (то есть в точках с нулевой производной, если они вообще есть) и лемма Ферма для них - не указ! Для многих гладких функций (например у=х³) нулевая производная не гарантирует существования в ней экстремума!
Для графика функции f(x)существует горизонтальная асимптота у=1, а область значений функции f(x) получается E(f)=[0;1). Наибольшего значения функция не имеет, а асимптотическое стремление при |х|→∞ значения функции f(x) к единице не свидетельствует о том, что у функции существует максимум, равный единице. Нет у ней никакого максимумального значения, в том числе и единичного! А минимальное значение, как уже определено выше, равно нулю.

f(x) = x^4/(x^4 + 1)
Чтобы найти экстремумы (наибольшие и наименьшие значения), нужно найти производную функции и приравнять ее к 0.
f'(x) = [4x^3(x^4 + 1) - x^4*4x^3] / (x^4 + 1)^2 =
(4x^7 + 4x^3 - 4x^7) / (x^4 + 1)^2 = 4x^3 / (x^4 + 1)^2 = 0
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет
4x^3 = 0
x = 0
f(0) = 0
При x < 0 будет f'(x) < 0 - функция убывает
При x > 0 будет f'(x) > 0 - функция возрастает
Значит, x = 0 - точка минимума.
Заметим, что:
f(x) = x^4/(x^4 + 1) = (x^4 + 1 - 1)/(x^4 + 1) = 1 - 1/(x^4 + 1)
При x стремящемся к +-oo f(x) будет стремиться к 1.
Это максимум, хотя и недостижимый.
Ответ: Минимальное значение f(0) = 0
Максимальное значение lim(x->oo) f(x) = 1
Если, конечно, вы уже проходили понятие предела функции.

Функция f(x) = (x^4) / (x^4 + 1) определена на всей числовой прямой. Поскольку числитель и знаменатель положительны для всех х, функция принимает значения в промежутке (0; 1).

На бесконечности, значение функции стремится к 1, но так и не достигает этого значения. Конкретнее говоря, предел функции при х, стремящемся к бесконечности или минус бесконечности, равен 1.

При x = 0, функция принимает свое минимальное значение, равное 0.

Таким образом, на заданном промежутке (-бесконечность;+бесконечность) функция принимает свое наименьшее значение в точке x = 0 (f(0) = 0), а наибольшее значение — меньше 1 (но стремится к 1 на бесконечностях).

Зачем тебе? Щас же август