Где можно получить приглашение на ПМЖ на о. Питкэрн (Pitcairn Island)?

Нигде. Британские заморские территории (включая остров Питкерн) имеют свои собственные иммиграционные правила. Конкретно остров Питкерн не требует въездных виз, соответственно, можете приехать, если бюджет позволяет.

Прямщяс на острове живет порядка 40 человек, причем в прошлом островная администрация заявляла о своей готовности принять еще примерно столько же. То есть теоретически можно просто приехать и попросить разрешение на постоянное жительство на месте. Желающих, кстати, так и не нашлось... Настолько не нашось, что даже люди, родившиеся на острове, не хотят туда возвращаться -- на сегодня большинство островитян живет либо на острове Норфолк, принадлежащем Австралии, либо в самой Австралии...

Только вот есть один вопрос: чем Вы там заниматься будете?

Зачем? Паспорт острова Питкэрн не будет считаться паспортом Великобритании, если ты это хотел. "Приглашение" никакое получать не надо. Что за "приглашение" на ПМЖ? Нужно на почту главе острова (я забыл как они называют их, губернатор, вроде). Там ты должен показать бабки (миллион рублей и выше) и каким-то чудом доехать. Землю там тебе никогда не отдадут, её там дают только в аренду и спустя несколько месяцев, подтвердив, что на земле ты будешь строить дом и могут отобрать в любой момент если не будешь ничё строить. Если Новая Зеландия дыра мира, то Питкэрн это вообще... Причём, даже без виза с соседкой - Новой Зеландией никогда не будет