Должен ли я оплачивать экспертизу в сумме 1200 рублей или эту услугу обязаны сделать в страховой?

Ск обязана провести свою НЭ для вас бесплатно, но, если она этого не делает в течение 5 рабочих - вы можете сами сделать НЭ за свои деньги в действительно независимой экспертной компании - сдать в СК Копию НЭ и копию чека за НЭ (или сдать оригиналы, но обязательно оставить копии себе на случай похода в суд) . Получить расписку с датой и штампом за все сданные документы. - Они, конечно урежут сумму, но это им будет посложней, и сумма будет выше.
Через 30 дней ждем выплату.
Дальше решаем, идти ли в суд.

По ОСАГО экспертизу по направлению от СК оплачивает СК (п. 45 Правил ОСАГО) . А так же услуги эвакуатора и стоянки, если авто не на ходу, и оплата независимой экспертизы, если ее проводил сам потерпевший в случае, если СК не уложились в 5-дневный срок (п. 60, 61 Правил ОСАГО) .

Кто делает экспертизу - тот и оплачивает. Если страховая делает - то страховая и оплачивает. Если Вы не согласны и хотите сделать еще одну - то оплачиваете Вы.

если вызов эксперта на дом то должен это в случае если после ДТП ты должен показать машину эксперту, но не поехал сам с к страховщикам, а если независимая экспертиза спорного случая лучше тоже заплатить.

Они направляют - они и оплачивают.

Если не согласен с их оценкой, то лучше сделай, потом в суде все издержки вернешь.

Если заказчиком экспертизы является СК, то нет