Страховка машины. Можно ли после покупки машины вписаться в старую страховку, и ездить с ней до её окончания?

Если покупаете авто по договору купли-продажи, т. е. со сменой владельца (надеюсь, что именно так) , то страховка прежнего владельца для нового недействительна без переоформления её в связи со сменой собственника. При согласии прежнего владельца надо переоформить страховку в связи со сменой собственника. Для чего прежний владелец вместе с Вами должен прийти в свою СК с паспортами, страховкой, ДКП, ПТС, правами (если хотите переоформить страховку на ограниченную) . Страховщик проведет перерасчет по Вашим данным, внесет изменения в свою базу и выдаст дубликат полиса. Вы будете записаны в страховку Собственником, Страхователь остается прежним. Только тогда эта страховка будет действительна для Вас весь свой срок. Талон ТО для переоформления не требуется.
Но прежний владелец вправе досрочно расторгнуть страховой договор и получить деньги за неиспользованный период или перенести этот остаток на свой новый авто при условии страхования в той же СК. Тогда Вам надо оформлять свою страховку. Для чего потребуется действующий талон ТО или диагностическая карта.

Нет. Номера то уже новые будут. Если номера старые, то это уже не покупка.

Страховка делается на автомобиль. На новый авто нужно делать новую страховку. На проданный авто страховку нужно рассторгнуть в СК.
Если Вы имеете ввиду страховку от прежнего собственника, то при обоюдном согласии надо явиться в СК и написать заявление о смене собственника в страховом полисе, тогда Вы сможете ездить по этой страховке до окончания полисного года.