Будут ли проблемы от гаи с битым авто в дальней поездке?

Купив права-прочитай Правила.
В данном случае пункт "Перечень неисправностей и условий, при которых запрещается эксплуатация транспортных средств".
Ничего там не сказано о вмятинах и трещинах на машине.
Так что если фары, зеркала и стекла в норме-можешь ехать спокойно.
Остановить, конечно, могут.
И даже попытаться что то вымогать.
В таком случае просто вежливо попроси показать-где написано, что с такими повреждениями ездить нельзя?
Единственное что смущает-"У фар, разбит пластик внутри"...
Вот это виртуально оценить сложно.

100% будут тормозить постоянно, доки по ДТП с собой вози.

На постах, останавливать будут 100%.

без переднего бампера эксплуатация разрешена
без заднего, нет
делай выводы )

Лучше, конечно справку о ДТП иметь. Но требовать её гаишники не имеют никакого права, это чистой воды произвол на местах. Если справки нет, а ехать надо, то распечатываете вот этот пункт ПДД и вежливо показываете гаишнику
2.1.1. Иметь при себе и по требованию сотрудников полиции передавать им для проверки:
-водительское удостоверение или временное разрешение на право управления транспортным средством соответствующей категории или подкатегории;
регистрационные документы на данное транспортное средство (кроме мопедов), а при наличии прицепа - и на прицеп (кроме прицепов к мопедам);
-в установленных случаях разрешение на осуществление деятельности по перевозке пассажиров и багажа легковым такси, путевой лист, лицензионную карточку и документы на перевозимый груз, а при перевозке крупногабаритных, тяжеловесных и опасных грузов - документы, предусмотренные правилами перевозки этих грузов;
-страховой полис обязательного страхования гражданской ответственности владельца транспортного средства в случаях, когда обязанность по страхованию своей гражданской ответственности установлена федеральным законом.

В случаях, прямо предусмотренных действующим законодательством, иметь и передавать для проверки работникам Федеральной службы по надзору в сфере транспорта лицензионную карточку, путевой лист и товарно-транспортные документы.
=========
Нигде ни слова про справку о дтп. Всё что положено по закону, то и передаете.

если все работает и всё прошел, то нет

уже с декабря езжу без половины бампера. 25 тыс проехал. Тормозили в основном за превышения и для проверки документов. Про бампер вопрос не вставал ни разу

справку об аварии с собой