При заведенном двигателе, гарит лампочка аккумулятора

Основная причина. Неисправен блок выпрямитель регулятор напряжения. Если гениратор переменного тока то возможно замыкание и перегорание дной из фаз в генираторе. Можно проверить путём снятия гениратора и проверить сопротивление одной из фазы. Как ктото писал выше проверьте щётки. Если дефектов в генираторе нет меняйте выпрямитель регулятор. И ещё на всякий случай проверьте предохранители в автомобиле. Важный вам совет непытайтесь больше заводить автомобиль без акумулятора. Вы спалите всю электронику, в том числе испидометр и тахометр. А повышение оборотов по прибору свидетельствует о том что у вас повышенное уже напряжение в цепи а так как привод стрелки тахометра электрический то стрелка показывает большее показание от фактического.
Скорей всего увас неисправен выпрямительно транзисторный блок. Это возможно из-за поподания в него воды. или гдето было короткое замыкание во время работы двигателя а предохранители не помогли. Механическое воздействие и микротрещины так же могли стать пречиной неисправности.
Неэксплуатируйте авто до устранения неисправности.

Не газуй без аккума, диодный мост сгорит

преобразователь замените.. . он не работает...

Однозначно - генератор в ремонт, а там возможны варианты - скорее всего износились и зависли щетки, возможно сгорело реле-регулятор напряжения, причем, он наверняка сгорело после отключения аккумулятора на работающем двигателе. Тахометр завязан на напряжение бортовой сети, потому и показывал неправильно .

Реле зарядки либо контактные щетки износились...

генератор в ремонт

щетки износились или подвесают