Что может быть, если перестает поступать ток при включении зажигания, а потом при сеятии клеммы включается сигналка?

А что значит перестает поступать ток и куда? В чем выражается?
Вращается ли стартер?
Например - если АКБ дохленький, то что бы поорать сиреной нужно максимум от АКБ полтора ампера. А вот при включении зажигания, а это уже несколько потребителей ток уже нужен в десять раз больше и тут АКБ может его и не дать. Другой пример - сигналка блокирует двигатель, точнее сама блокировка на общий провод от замка зажигания.
Если включается именно при снятии, то это может означать как минимум что сирена автономная, с ключиком или более редкая смарт сирена. Что бы определить тип сирены достаточно посмотреть сколько проводов из нее выходит. Для простых сирен это черный и красный проводки, все остальные с большим количеством уже не простые.
Есть еще момент уточнения, что сирена включается не после сразу снятия клеммы а именно после накидывания. Так у некоторых сигналок есть такая функция, что при первой подаче питания она начинает орать до выключения брелком или замолчит сама через минуту. Иногда система в охране и ведет себя именно так при попытке отключить питание.
Аккум живой раз сигналка пищит, это не всегда правильный вывод. Точнее не совсем корректный. Прощще всег проверить живость АКБ на веселое прокручивание стартером. И напряжением на клеммах при включенном зажигании.

смотри замок зажигания, а сигналка может и со своим акб быть...