Помогите ! ВАЗ 2110 пропала задняя скорость и рычаг переключения свободно болтается .

да с кулисой что-то. Залезте под машину, отсоедините кулису от коробки, и так попробуйте заднюю включить. если включится, то дело не в коробке.

на сервисе скажут снимать коробку

Значит так: запоминай. Заднюю не включай, откати лучше. Потом 1,2,3,...и на СТО, коробку снимать.

Ремонт КПП потребуется. Там же шестеренки в коробке вот похоже и выскочили.

Проверь в коробке подшипники, возможно придется менять шестерёнки.

кулиса крепится к штоку переключения стопорным болтом, который возможно ослаб, затягивай с фиксатором резьбы но не тяни сильно-металл кулисы слаб, есть риск сорвать резьбу

При такой неисправности, к сожалению, поломка или замена подшипников ни как не связана с "отсутствием" заднего хода. И болт вариатора тоже. Если бы болт был откручен, то уже никакая бы скорость не включилась.
Причин такой неисправности две. Основная, при условии, что сама кулиса попросту не идет на включение задней скорости (как будто что то мешает) , это облом пружины селекторного блока. Или как его называют, блока вариатора. Вторая причина - вилка включения задней скорости обломилась.
(бывали конечно и такие случаи, когда люди попросту в неправильном направлении ставили рычаг ПП. ) Но если и это не твой случай, то увы!
Коробку снимать придется по любому, и мало того. Еще же и разбирать-собирать ее.
А рукой ты и исправную коробку на задний ход не переключишь