Почему садится автомобильный аккумулятор?

Вы сами ответили на вопрос про АКБ.
Разряжается ввиду его сульфатации, прежде чем ставить батарею на хранение ее заряжают. Вы скорее всего поставили батарею на зарядку в разряженном состоянии.
Можете поставить на зарядку на сутки? Ставьте и пустьзаряжается... проверяйте температуру и плотность электролита, должна быть 1,27. Через сутки посмотрите, что стало. Вполне возможно зарядится. Если нет - сдавайте батарею на свинец.

То, о чём вы пишете - не имеет смысла. Не указано каким током вы его заряжали, сколько времени...
Поставьте на зарядку до тех пор, пока напряжение не поднимется до 14 В минимум. 12,9 - это после простоя ничего. Или возьмите другое ЗУ, с автоматической зарядкой. Или отнесите автоэлектрику на диагностику...
Если перед снятием аккум не был полностью заряжен - мог и помереть...
Напряжение после заряда падает, это нормально. Но... много тонкостей.

Он не любит тепло

>> Он постоял 3 месяца дома и разрядился
Так надо было после снятия зарядить его и вынести в прохладное место (чтобы медленнее разряжался). Через месяц-полтора занести, отогреть, подзарядить и опять вынести в прохладное место.

если до нуля разрядился и разряжается это больше всего замыкания пластин! здесь уже ничего не сделать

саморазряд неизбежен, а когда разряд доходит до критического, происходит разрушение пластин, и это уже не восстановить

Вода испаряется, кислота остаётся...
Купи дистиллированную воду и добавь...

Значит, не заряжается он. Но, возможно, зарядное устройство неисправно, а не аккумулятор?

Аккумуляторы как и всё имеют срок службы. Если есть большие внутренние утечки тока, значит осыпалась активная масса аккума. Аккумулятор считается мертвым, если при полном разряде напряжение падает ниже 9 вольт. Полный заряд можно контролировать по напряжению во время заряда, оно может подниматься до 16-17 вольт, а также по плотности электролита (обязательно) , т. е. нужен ареометр. После отключения электродов зарядки, естественно падение напряжения на акке, в норме это падение где то до 12.5-12.9 вольт. Короче если упало меньше 9 вольт, акк на выброс.

заряд до 12,9V это мало, нужно заряжать до 14,7V а потом ставить на машину заводить.