Подскажите провод устойчивый к частым сильным изгибам

выбирай чтоб жилки были маленькие и их побольше было

Гофра задубела и ломает проводку.

Для того, чтобы провод или шланг был практически "вечным" на изгиб - его завивают в пружину. Пример - тормозные шланги на фурах.

Не бывает таких проводов. Если надо, чтобы проводник работал как можно дольше в условиях изгиба, его делают плоским и максимально тонким. Так устроены все шлейфы к движущимся деталям.
А в вашем случае можно попытаться разнести вход и выход косы по длине, что бы коса работала не на изгиб, а на скручивание. Так устроена подача проводов двери.

Медный мягкий многожильный

Да, либо МГТФ, либо китайскую многожильную луженую медь в силиконе.
Жилы толщиной в несколько сотых долей мм и каждая луженая. Такой провод переломить практически невозможно даже за десяток тысяч циклов перегиба на 180° с радиусом 1 см.
Рабочие температуры провода -60° -180°С.
Проще всего найти в магазинах запчастей и материалов для радиоуправляемых моделей, но там за эти провода просят около 400% цены 1 метра в 50-100м бухте. На Авито можно найти дешевле.

Единственный недостаток такого провода при вашей задаче применения - значительно более высокая вероятность пореза изоляции об острые кромки, но точно не под своим весом - нужна нагрузка в точке соприкосновения с кромкой килограмм в 5 (а это не менее ~30 кг на 1 см²). Соответственно, если острых кромок нет, то внешняя витая жесткая оплетка не обязательна.

многожильный

Ищи МГТФ нужного сечения. Там жилки очень тонкие и их много.

Для таких целей лучше использовать провода в обрезиненной оплетке, проверить легко если провод на морозе не дубеет, остаётся таким же пластичным, то подходит. В конструкции большинства проводив применяют полимерный изоляционный слой, который теряет пластичность при низких температурах.