Можно ли не выходя из дома, то есть по компьютеру, проверить, есть ли перечисления на сберегательную книжку?

Можно, только нужно заключить договор с банком и все дела: -))

Можно, если у вас есть договор с банком.

Сбербанк ОнЛ@йн – это автоматизированная система обслуживания клиентов Сбербанка России через Интернет. С помощью Сбербанка ОнЛ@йн Вы сможете управлять своими счетами и совершать платежные операции через сеть Интернет.
В рамках услуги Сбербанк ОнЛ@йн Вы можете совершить следующие операции:

По вкладам:

перевести денежные средств со счета вклада на свой счет вклада/счет карты или на счет вклада/счет карты другого клиента, открытый в Сбербанке России или в другой кредитной организации;
совершить платеж в рублях со счета вклада, открытого в рублях, в бюджет и государственные внебюджетные фонды, в пользу юридических лиц (индивидуальных предпринимателей) ;
погасить кредит;
оформить/изменить/отменить длительное поручение по счету вклада на перечисление средств на счета физических лиц и в счёт погашения задолженности по кредитному договору;
приостановить операции по счету вклада в связи с утратой сберкнижки;
получить информацию о текущем размере остатка средств на счете вклада;
получить выписку по счету вклада;
получить информацию о максимальном размере суммы, которую можно снять со счета вклада без нарушения условий договора.
По картам:

перевести денежные средства со счета карты на счет карты Сбербанка России;
перевести денежные средств со счета карты на свой счет вклада или счет вклада другого клиента, открытый в Сбербанке России или в другой кредитной организации;
совершить платеж в рублях со счета карты биллинговым получателям (оплата услуг операторов сотовой связи, оплата за ЖКУ и пр.) , а также другим получателям;
погасить кредит;
оформить/изменить/отменить длительное поручение по счету карты на перечисление средств на счета физических и юридических лиц (платежей) , а также в счёт погашения задолженности по кредитному договору;
приостановить действие карты;
получить информацию о лимите доступных средств по карте и о десяти последних операциях по карте;
запросить отчет по счету карты на адрес электронной почты (E-mail);
Вы также можете:

получить информацию о Ваших кредитах в Сбербанке России (размере остатка срочной и просроченной задолженности, процентах по кредиту и сумме текущего платежа на определенную дату) ;
получить информацию по Вашей услуге Мобильный банк;
создать шаблоны платежей и переводов со счетов вкладов и карт;
получить информацию об остатке и выписку по обезличенному металлическому счету (при наличии договора банковского обслуживания) .
подготовить и распечатать платежный документ: платежное поручение, инкассовое поручение, ф. №ПД-4, ф. № ПД-4 СБ (налог) .
* Полная информация об операциях в Сбербанк ОнЛ@йн, а также об имеющихся ограничениях в проведении операций приведена
http://www.sbrf.ru/moscow/ru/person/services/e_sberbank/electronic_savings_bank/
http://www.sbrf.ru/moscow/

на карту можно если услуга подключена

Через интернет Вы можете посмотреть выписку по счету - информация о движениях денежных средств (поступления, списания со счета) . Для этого необходимо подключить услугу Кодовое слово в любом отделении банка у операциониста (стоимость услуги 20 руб. - разовый платеж) . После чего просмотреть выписку по счету можно на сайте банка.