можно ли проверить накопления на сберегательной книжке не выходя из дома?

если это Сбербанк, то можно.
если накопления не на книжке, а на счете привязанному к карте!
в банкомате дается пин код для интернет банка и возможно просматривать состояние счета.
если же это просто сберегательная книжка, то только с паспортом в отделении банка, где открыта книжка.
а вообще по всем этим вопросам, можно обратится по т. 8 800 555 55 50, можно позвонить с сотового.
разговор бесплатный и все точнее узнать.
удачи!

Если у вас счёт в сбербанке
Можно, если в отделении банка вы писали заявление на обслуживание по телефону, в этом случае вас должны были попросить установить кодовое слово. Что бы узнать состояние счёта вам нужно позвонить в отделение банка и назвать ваши фио, счёт и кодовое слово.
Если вы заключали универсальный договор банковского обслуживания, то вам нужно подойти в банк и вписать номер счёта сберкнижки в удбо (если вы этого не делали) и написать заявление на подключение к удбо услуги Сбербанк ОнЛ@йн и получить логин и постоянный пароль для доступа к системе и так же список одноразовых ключей.
Если вы не делали ни того, ни другого, то советую вам заключить универсальный договор банковского обслуживания (удбо)

Если счёт открыт в другом банке, то позвоните в справочную банка и узнайте можно ли узнать состояние счёта по телефону или через интернет.