Можно ли открыть счёт в банке бесплатно, и получить на руки банковскую карту? Типа визы или ещё какую

Можно, в Сбербанке - бесплатно совсем.
Карта называется - МОМЕНТУМ :
http://sbrf.ru/moscow/ru/person/bank_cards/debet/momentum/

Но, если Вам до 25 лет, то Сбербанк выдает международную карту VISA или MASTERCARD "Молодежная" по льготному тарифу - 150 рублей:
http://sbrf.ru/moscow/ru/person/bank_cards/debet/

(щелкайте по первой карте и попадете на молодежный сайт "Сбербанка" - предложения для молодежи)

Если карта нужна для оплаты в Инете, то бесплатно не получится, только за небольшие деньги - 100-150 руб/год.

бесплатно да. только за обслуживание цены разные, в год от 300 до ...+ссм уведомление, но удобно

Автор, рад сообщить Вам, что бесплатно Вы можете оформить дебетовую карту Международной платежной системы MasterCard в бане Русский стандарт. Пакет называется "Банк в кармане".
Обращаю Ваше внимание, что эти карты (в отличие от карт Моментум от Сбербанка) принимают в 210 странах мира. Картой удобно оплачивать покупки в магазинах и услуги в сервисных предприятиях, не нужно носить с собой большое количество денег, не нужно думать, хватит ли наличных, которые есть с собой. Сохранность денежных средств на счете карты: при утрате карты достаточно позвонить в круглосуточную Службу поддержки – и карту незамедлительно заблокируют.
Широкая сеть приема. Карты MasterCard принимают в более чем 29 млн точек по всему миру, во многих магазинах и ресторанах. Возможность использовать карту MasterCard как в России, так и за рубежом.
Длительный срок использования. Карта MasterCard оформляется на срок 1 – 3 года. По истечении срока действия карты банк предлагает клиенту продлить сотрудничество и перевыпускает карту.

Конечно можно. сейчас почти все банки, если открываешь счет дают банковскую карту, даже если не хочешь.