Друзья, как правильнее и деликатнее поступить в вопросе повышения разряда?

Сам же говоришь что уже сдал на разряд! Ещё что надо?

Сдай документ в Отдел кадров. Это их работа.

мало ли, что вы сдали и получили. если в штатном расписании ДМШ указано, что им нужен настройщик 4 разряда, то исключительно по вашему желанию изменения в штатное не внесут и на несуществующую должность не переведут.
идите с документами сначала к директору, узнайте, что она сможет сделать, что прописано в штатном расписании и будет ли она ходатайствовать в вышестоящую организацию о внесении изменений в штатное расписание. вы же желаете к разряду еще и повышение зарплаты получить, а откуда оно взяться должно? из чьего кармана взять, чтобы вам дать? в бюджете каждая статья расходов строго регламентирована, если денег лишних на "зарплатной" статье нет, то из воздуха они и не появятся.
если директор вам откажет, тогда сами в вышестоящую организацию обращайтесь, через её "голову".
и делать это надо быстро, пока на новый финансовый год сметы не утверждены.

Если вы от вашего предприятия сдали на разряд, то никому ничего специально сообщать не надо в ОК и так об этом знают и сделают соответствующую запись в вашей трудовой книжке, а если вы самостоятельно сдали без инициативы вашего руководства, то просто принесите в отдел кадров бумагу о том, что сдали на 5-й разряд и вам поставят его в ТК.

Лучше в отдел кадров идите и скажите, что вам повысили разряд. Пусть она с директорам разговаривает. Или сразу к директору, только будьте поувереннее.