Подскажите фотоаппарат и объектив, который подойдёт для съёмки фото и видео концертов с расстояния в 10 метров

Не существует.

Олимпус Pen E-PL5(6,7)+Zuiko 14-42mm.Вполне Вам подойдёт.

Видео - снимают видеокамерой. Для фото в обозначенную сумму Nikon D90+Nikon Nikkor AF 24-85 mm F/2.8-4 D IF
Или же не мудрствовать лукаво и купить хороший компакт типа Fujifilm X30 или Olympus Stylus 1s

Canon 700D + 18-135 STM + 50mm f/1.8 STM - как раз в 60тыр укладываешься.

Можно посчитать конкретно для 10 метров)
К примеру на сцене выступает ребёнок ростом 1,2 метра. Его ведь надо хотя бы на половину горизонтального кадра снять. Тогда по расчётам самое минимальное эквивалентное фокусное расстояние 100 мм.
Другой случай - группа танцоров, которых танец на 10 метров по сцене разбросал, тут самое большое эквивалентное фокусное - 36 мм. Получается самая минимальная вилка для зум-объектива: 36-100 мм, т. е. китовый объектив 18-55 не вписывается, а вот зум-объектив 18-105 мм для зеркалки с матрицей APS-C уже достаточен.
За светосилой можно не гнаться, освещение софитами достаточно для съёмки зеркалкой, нро всё же когда исполнитель один и резко отображать глубину сцены не требуется то светосила может прибавить качества.
А фотоаппарат - любая зеркалка, это будет дешевле чем беззеркалка и не хуже по качеству. Современная зеркалка, старые с видео не очень хороши.

Итого: зум-объектив 18-105 мм по возможности светосильный + любая зеркалка, какая вам удобнее.

Я пробовал снимать концерты своим компактом fujifilm XQ2, могу сказать, что в компактах аккумулятор на видео быстро сажается, минут 20-30 видеозаписи - и аккумулятору хана, поэтому снимал в основном фото, а видео снимал выборочно и мало и аккумулятора с трудом хватало на концерт.
у зеркалки большой корпус позволяет применить аккумулятор большой ёмкости.

GoPro. Зрители так снимают. И неплохо.

35 или 50мм вполне подойдут

Концерты-то разные бывают. Ну например, Sigma 17-50/2,8+ 50-150/2,8 со стабом. И тушка Canon, кроп на какую денег хватит, начиная от 550d.

Только видеокамера

Не слушай этих веселых людей большинство указали короткие объективы.
Я снимал на д3100+18-135, потом перешел на 7100, объектив хочу менять на 55-200 а потом на 80-200.
Но говорю сразу, что ищи не меньше 135мм со СТАБОМ и это МИНИМУМ. На таком комплекте ты будешь наваливать исо до нерабочих показателей, не снимешь поясной портрет, и все за музыкантами будет резким. Поэтому стремись к 80-200 2.8
Только говорю сразу, сейчас на любмом концерте число фотографов как правило превышает число музыкантов в 2 раза. И техника у них гораздо лучше, и опыта больше :)
По видео наверняка проще, но я вэтом не спец.

Любую зеркалку + 17-50 Сигма 2.8 или 17-70 сигма 2.8. Для подобной работы нужна нормальная внешняя вспышеп

Ну примерно: Nikon D90 + Nikkor 50мм 1.4