Организация не дает мне ответ (в данном случае страховая компания). Как подать на нее в суд за "недачу" ответа?

Чтобы подать исковое заявление, Вам нужно знать сумму иска.
Но Вы можете ее поменять в любой момент в процессе рассмотрения дела путем изменения исковых требований.
Я бы посоветовала Вам не дожидаться ответа страховой.
Сумма возмещения берется из оценки суммы ущерба оценщиком. Наверняка у страховой есть все эти документы, но она Вам их не даст (а должна) , тем более, если Вы не хотите ходить в страховую.
Делайте следующее:
1. Попробуйте сходить в страховую и получить все документы и отказ и отчет оценщика. Надеюсь, что Вы также сохранили написанное и отправленное Вами письмо со всеми почтовыми квитанциями.
2. Обратитесь в суд с иском к страховой компании.
Если страховая так и не даст Вам информацию, то напишите любую сумму в иске (но помните, что это чревато: есть вероятность того, что суд возвратит такой иск) . Только напишите в иске, что выяснили Вы эту сумму, например, в телефонном разговоре с представителями страховой.
Одновременно с иском подайте ходатайство об истребовании у ответчика документов.
Есть большая вероятность того, что суд сам предложит назначить экспертизу и сумма будет пересмотрена.
Как только сумма уточнится, Вы сможете подать ходатайство об изменении размера исковых требований и уточните ее.
И помните: Вы ни перед кем не унижаетесь, а отстаиваете свои права.

А на основании чего отказ? Законных причин может быть несколько: управление в нетрезвом виде; передача управления лицу, не вписанному в полис; повреждения не соответствуют обстоятельствам ДТП. В последнем случае должна была быть трассологическая и техническая экспертиза. Если она не проводилась и отказ основан только на умозаключении сотрудника СК, то он незаконен. Это для автомобилей. Могут быть и другие. Для других видов страхования да и в любом случае надо смотреть договор. Там все условия отказа расписаны. В любом случае вопрос не совсем понятен: что пострадало? Какая страховка? Какие обстоятельства причинения ущерба? И т. п.

Подать оно конечно можно, но только толку не будет ибо по закону обязаны отвечать ГОСударственные учреждения, а прочих к сожалению обязать НЕЛЬЗЯ.

В твоём случае к иску нужно приложить копию договора и второй экземпляр "Заявления", в котором просишь предоставить ответ в письменном виде на руки.
Если говорят, что отправили по почте = проси дубликат, ибо второй экземпляр "отлупа" должен быть в деле. Но больше года тянул зря = это дополнительный косяк с твоей стороны.

P.S. . чёт у тебя каламбур какой-то =Х. З. Что за договор со следствием ???
В канцелярию следствия обратись письменно и попроси копию ответа. В твоём случае уже из архива. ЧЁ волокитил, а теперь ищишь прошлогодний снег ???