Изготовили на заказ кухонный гарнитур, появился брак изготовителя, платная ли экспертиза для потребителя?

Поскольку речь идет о выполнении работ (раз мебель была изготовлена на заказ) , то нужно обращаться не к статье 18, а к статье 29 ЗоЗПП.
Пока не спешите с экспертизой. Экспертиза проводится лишь в случае разногласий в причинах выявленных недостатков и проводится за счет исполнителя работ. Несогласованная с исполнителем экспертиза, проведенная по Вашей инициативе и за Ваш счет, без присутствия представителя исполнителя, может быть признана необоснованной и не будет Вам оплачена. В суде назначается собственная экспертиза, к которой исполнитель уже не будет иметь отношения, проводится она по решению суда.
В соответствии с пунктом 3 статьи 17 ЗоЗПП потребители по искам, связанным с нарушением их прав, освобождаются от уплаты государственной пошлины в соответствии с законодательством Российской Федерации о налогах и сборах.
Вам, конечно, лучше всего обратиться в общество по защите прав потребителей, где Вам окажут юридическую помощь в правильном составлении искового заявления на основе тех документов, которые у Вас есть. В вопросе очень мало нужной для полного ответа информации, а на дополнения к вопросу, которые Вы делаете, в ответе уже невозможно ответить, так как время для редактирования ответа ограничено.
Не ясно осталась ли у Вас копия претензии, указан ли там срок, который Вы определили для устранения недостатка, в соответствии со ст. 30 ЗоЗПП, что написали Вам в Вашем экземпляре претензии при предъявлении требования об устранении недостатка, и т. д. Только имея полную информацию можно ответить, что Вам можно и нужно сейчас предпринять.
В качестве полезной информации могу лишь сообщить, что в соответствии со статьей 30, за просрочку выполнения требования об устранении недостатков, исполнитель уплачивает потребителю за каждый день просрочки неустойку (пеню) в размере трех процентов цены выполнения работы, а если цена выполнения работы договором о выполнении работ не определена - общей цены заказа (п. 5, ст. 28).
Поэтому, если в претензии не оговаривался срок устранения недостатков, то и требовать неустойки будет нельзя. Именно поэтому, чтобы исключить возможность ошибок и с максимальной для Вас пользой и выгодой решить возникшую проблему, Вам и надо обратиться в местное отделение общества по защите прав потребителей. Для Вас это ничего стоить не будет, помощь Вам будет оказана бесплатно, зато Вы получите поддержку профессионального юриста, который будет сопровождать Ваше дело в суде, где Вы также сможете рассчитывать и на компенсацию морального вреда, сумма которого определяется судом (ст. 15).

Статья 15. Компенсация морального вреда
http://ozpp.ru/laws/zpp/15.php
Статья 17. Судебная защита прав потребителей
http://ozpp.ru/laws/zpp/17.php
Статья 28. Последствия нарушения исполнителем сроков выполнения работ (оказания услуг)
http://ozpp.ru/laws/zpp/28.php
Статья 29. Права потребителя при обнаружении недостатков выполненной работы (оказанной услуги)
http://ozpp.ru/laws/zpp/29.php
Статья 30. Сроки устранения недостатков выполненной работы (оказанной услуги)
http://ozpp.ru/laws/zpp/30.php

Прежде всего, в претензии нужно правильно написать претензию. В ней нужно изложить все, что вы нашли некачественного. Потом очень четко определить, что хотите. :
Согласно ст. 18 ЗоЗПП потребитель в случае обнаружения в товаре недостатков, если они не были оговорены продавцом, по своему выбору вправе:
потребовать замены на товар этой же марки (этих же модели и (или) артикула) ;
потребовать замены на такой же товар другой марки (модели, артикула) с соответствующим перерасчетом покупной цены;
потребовать соразмерного уменьшения покупной цены;
потребовать незамедлительного безвозмездного устранения недостатков товара или возмещения расходов на их исправление потребителем или третьим лицом;
отказаться от исполнения договора купли-продажи и потребовать возврата уплаченной за товар суммы. По требованию продавца и за его счет потребитель должен возвратить товар с недостатками.
Также нужно указать, что в случае отказа в добровольном удовлетворении данного заявления будет подано исковое заявление в суд.
Имейте в виду, что с 11 дня получения продавцом вашей претензии, начинает начисляться %% за неисполнение законных требований по устранению недостатков. Но все это нужно указать в претензии.
Если, как вы написали, продавец не реагирует, нужно написать повторную претензию, где указать, что продавец столько времени не реагирует. Все это пригодится в суде.

Экспертиза делается за счет продавца. Но тут есть некоторые неудобства для вас. Эксперт может быть «подкормленным» продавцом, тем более, если это крупный магазин. Лучше все же сделать экспертизу самим, а затем выставить счет за нее продавцу через суд.
Если продавец откажется присутствовать на экспертизе, то ему и хуже.

Долго не тяните. Если все бумаги на руках и правильно оформлены, подавайте иск в суд.

По закону о защите прав потребителей экспертиза должна проводиться за счет исполнителя услуги. Ходатайствуйте перед судом о проведении экспертизы за счет ответчика. Но здесь есть опасность, что ответчик воспользуется услугами "своего" эксперта и вину за повреждения возложить на Вас. Поэтому Вам при проведении экспертизы нужно присутствовать и в случае необходимости, вносить свои замечания и пояснения.