Откуда взялось правило?

Правильный человек придумал....

Из обычая

На самом деле, это "правило" потеряло всякую силу с принятием в 1996 г. части II Гражданского кодекса РФ.
Согласно ч. 2 ст. 887 ГК, сдавая вещи на хранение администрации больницы, скажем, и получая в подтверждение этого какой-нибудь документ (расписку и т. п. ) или жетон, вы заключаете с администрацией договор хранения.
А согласно ч. 1 ст. 901 ГК, хранитель отвечает за утрату, недостачу или повреждение вещей, принятых на хранение.
Так что ответственность они нести должны, независимо от объявлений, мол, ответственности не несём.

Вы берете 2 случая, которые по разному регулируются. По поводу администрации и ценных вещей: администрация будет нести ответственность только в случае, если заключит с вами договор хранения. А так у вас нет обязанности оставлять вещи в ячейках и прочее.
А поповоду поврежденного имущества: про какое имущество идет речь? Если это в связи с ненадлежащим выполнением служебных обязанностей, то да, администрация больницы понесет ответственность. Если просто по умыслу сотрудника, не имеющего отношения к работе, соответственно сотрудник понесет ответственность.

администрация нет на сотрудника если есть желание можно подать в суд. в гражданском праве не существует термина по неосторожности.

Правило о том, что за оставленные вещи администрация ответственности не несет продиктовано только тем, чтобы у вас бдительность повышалась. На самом деле оставленные вещи по ст. ст. 227 - 229 ГК РФ должны администрацией храниться, если они вовремя обнаружены. О вещах, оставленных у них должно сообщаться в правоохранительные органы, а если хозяин объявится, то вещь должна быть возвращена немедленно. Повреждение по неосторожности не имеет уголовно-правовых последствий, а вот гражданская ответственность наступает, и ущерб должен быть возмещен не администрацией, а самим сотрудником.