По договору Подряда наша организация-субподрядчик, а если к работам мы привлекаем третьих лиц, то по договору

Субподрядчиком является организация с правами юридического лица, привлеченная Генподрядчиком по субподрядному договору для выполнения части
работ, предусмотренных договором подряда.
Субподрядный договор - разновидность договора подряда и к нему применяются как общие нормы гражданского
законодательства о договоре, так и общие положения о подряде.
Возможно заключение подрядчиком двух и более субподрядных договоров, что часто имеет место на крупных стройках. На практике встречаются также случаи
заключения субподрядчиком нового субподрядного договора (так называемый двойной субподряд) , что действующим законодательством не запрещается.
В этих ситуациях появляется фигура Генерального (главного) субподрядчика.
Субподрядный договор, как вид подряда, имеет особенности, и его условия должны быть согласованы с положениями подрядного договора, для выполнения
которого привлекается субподрядчик, прежде всего в отношении подготовки фронта работ субподрядчику и сроков выполнения отдельных работ.
В строительстве в этих целях используется форма т. н. совмещенных графиков строительства, согласовываемых между всеми участниками строительных работ.
Таким образом ваша организация будет называться Генеральный субподрядчик.
Но если в договоре, по которому вы являетесь субподрядчиками, не прописано, что вы имеете право привлекать к выполнению работ третьих лиц с согласия генерального подрядчика, то ваша организация не вправе заключать договора с третьими лицами.
Если прописано, то в преамбуле договора указываете генерального субподрядчика и подрядчика, между которыми заключен договор, а в конце договора, где подписи сторон, пишите Согласовано: наименование ген. субподрядчика и его подпись с расшифровкой.

Да как угодно назовите. Какая разница?

Субсубподрядчик. Но опять же не обязательно именно так.