Художник написал фрагмент своей картины. Обладает ли в данном случае художник комплексом авторских прав?

Обладает. Авторское право неотчуждаемо, в отличие от имущественного. То есть в первый раз продать картину или фрагмент автор сможет на основе авторских прав.

И тогда картина или фрагмент станут имуществом и будут принадлежать другому человеку, но автор сохранит свои авторские права.

Если говорить о неотчуждаемых правах (как правило, это собственно авторство), то они не подлежат продаже, передаче или иному способу отказа автора от своей принадлежности к процессу создания произведения. То есть талантливый человек, создавший некий продукт, остается его автором в любом случае. Нельзя заключить никакого договора, по которому кто-то другой бы приобретал право авторства.

- Читайте подробнее на BusinessMan.ru: https://businessman.ru/new-obekty-i-subekty-avtorskogo-prava.html

Имущественные права автора, в отличие от неимущественных прав, могут быть переданы (уступлены) другим лицам на основе авторского договора либо по праву наследования и носят срочный характер, поскольку срок действия указанных авторских прав ограничен законом. Все имущественные права автора производны от исключительного права автора на использование своего произведения в любой форме и любым способом, не противоречащим действующему законодательству, в соответствии с ч. 1 ст. 1229 ГК РФ.

http://studbooks.net/501619/pravo/imuschestvennye_avtorskie_prava

Нет. Да.

Если имеете ввиду, что картина незаконченная, то все равно автор обладает всем комплексом прав, неважно закончена она или нет. А если имеете ввиду, что над картиной трудилась пара человек, то авторские права художник имеет лишь на фрагмент картины, а не на всю картину. Это называется соавторство (см. ст. 1258 ГК РФ).

Да, обладает)