На какие статьи закона сослаться при написании претензии в описанной ниже ситуации?

При обнаружении существенного недостатка товара (любого, даже не относящегося к технически сложным) после истечения гарантийного срока, а также после истечения двухлетнего срока, установленного Законом "О защите прав потребителей" в отношении товара, не имеющего гарантийного срока, потребитель может предъявить продавцу (организации, предпринимателю, изготовителю, импортеру) только одно требование - безвозмездно устранить недостатки. При этом потребитель должен доказать, что недостатки возникли до того, как товар передан ему. По смыслу данной нормы доказыванию подлежит именно момент возникновения недостатков, а не вина продавца.
Кроме этого, следует учитывать, что потребитель все же ограничен во времени для заявления указанного требования каким-либо сроком службы либо десятью годами с момента передачи товара, если срок службы не установлен.
Требовать безвозмездно устранить существенный недостаток товара потребитель вправе и по истечении гарантийного срока, но в пределах срока службы или в течение десяти лет с момента передачи ему товара, срок службы для которого не установлен.
Если в течение 20 дней с момента предъявления указанное требование не будет удовлетворено, потребитель вправе потребовать замены товара, возмещения расходов на устранение существенных недостатков или вернуть товар с возмещением уплаченной за него суммы.
Примеры из судебной практики:
Так, суд отказал в удовлетворении требований о расторжении договора купли-продажи автомобиля, заявленных после истечения гарантийного срока, т. к. недостаток - повышенный расход топлива - не был признан существенным (см.: Апелляционное определение Архангельского областного суда от 22.08.2013 по делу N 33-4848).
Так, суд отказал потребителю в удовлетворении требований о замене автомобиля ненадлежащего качества. Как установил суд, недостаток возник по истечении гарантийного срока, однако существенным не является, в связи с чем положения ст. 18, п. 6 ст. 19 Закона РФ "О защите прав потребителей" не применимы в данном случае.
Суд указал также на то, что право потребителя на безвозмездное устранение недостатков товара или отказ от исполнения договора и требование возврата стоимости являются альтернативными и совместно заявлены быть не могут (см.: Апелляционное определение Московского городского суда от 28.08.2013 по делу N 11-27526).
С уважением, Эдуард (http://konra.ru/)

На статьи гражданского кодекса по купле-продаже, а также ст. ст. 309, 310 ГК РФ, а также условия Договора.

Бюджетная организация не может быть потребителем. На нее Закон "О защите прав потребителей" не распостраняется.
Посмотрите ст. 477 ГК РФ. Там говорится о сроках предъявления претензий по качеству.
А так с 469 по 477 статей ГК РФ включительно говорится про качество. Вот из какой статьи будете основания брать на такую и ссылайтесь.