На какие регионы России оказывает влияние каспийское море ?

Каспийское море никакого влияния на территории России не влияет, потому что оно замерзает зимой и не может смягчать зимы . Большое влияние Каспийское море оказывает на юг. Дагестана (Самурская долина субтропиков ) на Азербайчан, на Туркменистан (Гызыл Атрек, где росли или растут самые северные плодовые финиковые пальмы) и на юге, северная часть Исламской республики Иран . ( немного на юж. Казахстан Актау, Женеозен )
Если бы Каспийское море влияло на Российский сектор свой, то климат местности был бы существенно теплее зимой и не таким жарким летом . Это показал 2012 год, когда Каспийское море замерзло до г. Сумгайит в Азербайчане, Дагестане . Из-за Розы ветров так сложилось .
Иной характер морского климата на Черном море .где все города побережья имеют климат морского характера . В зоне условных субтропиков Сочи и южнее растут некоторые виды растений субтропиков, пальмы, кипарисы, агавы, и другие, то на той же широте в Дагестане или в Казахстане их нет . Исключение только самый юг Дагестана и то, я знаю одну свою знакомую из Хасавюрта, у нее в холодную зиму вымерз гранатовый сад, виноградники и розарий
Повторяемость суровых зим там выше .

Косвенно на все и не только России
==============================
Корабельная ударная группа Военно-морского флота РФ 7 октября нанесла удар крылатыми ракетами по объектам инфраструктуры боевиков «Исламского государства» на территории Сирии. В состав ударной группы вошли ракетный корабль «Дагестан», малые ракетные корабли «Град Свияжск», «Углич» и «Великий Устюг». Стрельба осуществлялась из назначенного района акватории Каспийского моря корабельными комплексами высокоточного оружия «Калибр НК». Крылатые ракеты успешно и с большой точностью поразили все заданные цели.
https://www.youtube.com/watch?v=Balz7JAq7t4

Нижнее и среднее Поволжье, Дагестан, Калмыкия

Судя по количеству азеров и дагов, на все....

Дагестан и на Астрахань

Дагестан, Калмыкия, Астраханская область.