какая статья игровой комнаты? И существует ли она? или подобные?

можете... если характер поломки доказывает случайность действий Вашего сына...

Вы можете послать вымогателей по известному в России адресу.
Сначала надо доказать умышленность действий ребенка, стоимость поломки, а только после этого что-то требовать.

ГК РФ Статья 1064. Общие основания ответственности за причинение вреда
2. Лицо, причинившее вред, освобождается от возмещения вреда, если докажет, что вред причинен не по его вине. Законом может быть предусмотрено возмещение вреда и при отсутствии вины причинителя вреда.
ГК РФ Статья 1073. Ответственность за вред, причиненный несовершеннолетними в возрасте до четырнадцати лет

1. За вред, причиненный несовершеннолетним, не достигшим четырнадцати лет (малолетним), отвечают его родители (усыновители) или опекуны, если не докажут, что вред возник не по их вине.
2. Если малолетний гражданин, оставшийся без попечения родителей, был помещен под надзор в организацию для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей (статья 155.1 Семейного кодекса Российской Федерации), эта организация обязана возместить вред, причиненный малолетним гражданином, если не докажет, что вред возник не по ее вине.
(п. 2 в ред. Федерального закона от 24.04.2008 N 49-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
3. Если малолетний гражданин причинил вред во время, когда он временно находился под надзором образовательной организации, медицинской организации или иной организации, обязанных осуществлять за ним надзор, либо лица, осуществлявшего надзор над ним на основании договора, эта организация либо это лицо отвечает за причиненный вред, если не докажет, что вред возник не по их вине при осуществлении надзора.
(п. 3 в ред. Федерального закона от 24.04.2008 N 49-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
4. Обязанность родителей (усыновителей), опекунов, образовательных, медицинских организаций или иных организаций по возмещению вреда, причиненного малолетним, не прекращается с достижением малолетним совершеннолетия или получением им имущества, достаточного для возмещения вреда.
(в ред. Федерального закона от 24.04.2008 N 49-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
Если родители (усыновители), опекуны либо другие граждане, указанные в пункте 3 настоящей статьи, умерли или не имеют достаточных средств для возмещения вреда, причиненного жизни или здоровью потерпевшего, а сам причинитель вреда, ставший полностью дееспособным, обладает такими средствами, суд с учетом имущественного положения потерпевшего и причинителя вреда, а также других обстоятельств вправе принять решение о возмещении вреда полностью или частично за счет самого причинителя вреда.

Таким образом, необходимо учитывать два момента:
1) должна ли была организация игровой компаты следить за детьми?
2) "Случайно" может быть разным, если вы докажете что сама вещь была в негодном состоянии, тогда не платите, а если "случайно" сел к примеру, то придется платить..

Не платите, пусть делают что хотят