Побелили потолок, через пару дней заметили какие-то мелкие черные точки

Олечка, это у вас основание поражено плесенью и грибком. К сожалению вам придется всю работу проделать заново, но уже избавившись от грибка. Этапы выполнения работ:
1) Отмойте всю поверхность;
2) просушите;
3) Место поражения грибком необходимо тщательным образом зачистить, лучше с помощью болгарки и специальной насадки;
4) Очистить от остатков пыли;
5) Загрунтовать поверхность специальным антимикробным составом;
6) Дать поверхности высохнуть;
7) Приступать к финишной отделки.
Проделав эту операцию, вы избавитесь от грибка на всегда, в случае если очаг находился на вашем уровне. Если сыреет и мокреет постоянно от соседей, то к сожалению грибок может появляться вновь. Если же соседи просто залили вас, то нужно ждать полного высыхания. Если у вас последний этаж, то все эти манипуляции нужно проделать на чердаке. Спрашивайте, если что, отвечу обязательно.

Слазить, да посмотреть в упор под сильным светом - скорее, в самом деле - дырочки от пузырьков. Плесень так быстро не вылезет

После выравнивания? Такое обычно бывает, если бетонная плита - в ней полно отверстий - тогда и образуются при окрашивании пузыри, а при высыхании - дырки.

Похоже на грибок. Сносить нужно все.

покрасить потолок в цвет точек можно

А я отказалась от побелки раз и навсегда! Поставила везде натяжные потолки и теперь на потолок смотрю с удовольствием - любуюсь. А проблем с ремонтом сразу стало заметно меньше)))