Можно ли выкопать погреб в таком доме?

Зависит от геологии (типа грунтов, толщины слоёв, уклона поверхности, уклона слоёв грунта). Может оказаться ОЧЕНЬ дорого. В многих случаях отдельный - дешевле и безопаснее.
Если повезёт с погодой - надо оборудовать капитальный подъезд для миксера с бетоном, заранее привезти доски для опалубки и арматуру, а после начала копки запретить близкий проезд любой тяжёлой техники. И выкопанное увозить сразу не менее чем на 10 метров в сторону. И копать в режиме 24\7, а потом почти мгновенно ставить арматуру, вязать и без перерыва сразу заливатьпол+стены. , а после 7 суток заливать и верхнее перекрытие, в 2 этапа, несущий слой + самонесущий слой с утеплением, с одновременной закладкой приточной вентиляции, вытяжной вентиляции и гильзы под низковольтную электропроводку.
Пол необходимо деллать с уклоном в 2-5 градусов к лестнице, и приямком на 6-10 литров, для выкачки попавшей воды. Бетон обязательно должен быть без излишка воды, тогда после заливки не будет пропускать воду.
Заливается в "кулёк", опалубку с полиэтиленом изнутри и полиэтилен вдоль грунта. Тогда не будет просадок и перекосов домика.
Для хорошей заливки рукава и бетонщики тдолжны быть в готовности на месте ДО приезда миксера.
Если Вы собираетесь делать что либо совсем экономно - то копать погреб внутри - Вам нельзя. После этого получите БОЛЬШИЕ проблемы с домом (трещины, перекосы, расхождения, лопнувшие \ выпавшие стёкла.
Удачи.

Да хоть целый бункер - от грунта зависит.
Я у себя меняла фундамент под такой же коробушкой, вместо бетонных столбиков залили ленту. Когда выкопали траншею, там оказался толстый слой песка. Подземная река течет, песчаные стенки траншеи в нее обваливаются. Говорю - без вариантов, уже всё сделано, ставьте опалубку, арматуру и лейте бетон. Так и получилось - на жесткой ленте, как на кирпиче, стоит спичечный коробок домушки. А погреб внутрь копать - песком занесет.
Вообще в деревенских домах использовали не погреб, который - правильно пишут - делают отдельно от дома, а подпол. Там достаточно прохладно, и места много.

Небольшой погреб выкопать можно .

можно

Вы погреб с подвалом не путаете?
От греха подальше, погреб можно и отдельностоящий устроить, даже не закапывая его в полный профиль)))

То же подумал - землянку соорудить надежнее рядом.

Метр на метр и то навряд ли. Там столбики для пола стоят.
Снести, выкопать котлован, забетонировать, сделать дренаж и можно домик на место ставить.

зависит от грунта, фундамента и уровня грунтовых вод

да копай на здоровье..