Вопрос про статью 24 пункт 2 УПК РФ. Что значит отсутствие (или присутствие) в деянии состава преступления? См внутри.

Действительно, очень действенно написать жалобу в суд в порядке ст. 125 УПК РФ, отменят постановление. Кроме того, если предполагается все же ст. 116 УК РФ, то заявление в суд, там рассматриваются дела частного обвинения, вот именно туда надо приглашать свидетелей и там проведут экспертизу, определив степень тяжести повреждений и соответственно состав преступления. Возможно Вам и отказали, т. к. исследование не провели. Бывшие грехи проверяются при избрании меры пресечения и назначении наказания и вторая сторона, если кто-то состоит на учете, то проверяются новые грехи... (это Вам к участковому). Повторно в полицию писать заявление не надо.

в вашем случае советую обратиться в суд районный в соответствии 125 ст. УПК РФ на действия следователя изложить все обстоятельства дела приложить копию отказа и копии мед обследований, если есть пригласить в суд свидетелей соседей изначально взяв у них письменные показания. Далее подать еще одно заявление о возб дела тот же следств орган.
параллельно написать заявление в прокуратуру с копиями мед обследования.

Неправомерно отказано в возбуждении уголовного дела, потому что причинен вред. Это и есть состав преступления - умышленное причинение вреда здоровью. Делать запрос в ИЦ о раннем привлечении к уголовной ответственности уже будут только вынесения постановления об отмене постановления об отказе в возбуждении уголовного дела, а также после вынесения постановления о возбуждении уголовного дела.

Вы бы дочитали резолютивную часть постановления до конца.. . Возможно там есть пункт, в котором указано, что Вам необходимо обратиться в мировой суд Вашего участка для привлечения соседа к уголовной ответственности, т. к. и 115 и 116 - дела частного обвинения, разбирательство которых проходит в мировом суде по заявлению пострадавшего (потерпевшего) , только если Вы не инвалид, несовершеннолетний и т. д.
+ как вариант - постановление может быть промежуточным с ходатайством об отмене, так как не поступил акт СМО, а Вам направлено только постановление, ибо ходатайство об отмене никто Вам направлять не обязан.
И, кстати, "бывшие грехи" по Вашей инициативе проверять никто не обязан, ибо на возбуждение дела или отказ в возбуждении дела это никак не влияет.
Прежде, чем поднимать панику, сходите к участковому и уточните все моменты, возможно Вы что-то не поняли, а там Вам все прокомментируют. Здесь же, не видя постановления, Вам дают только примерные варианты дальнейших действий.

состав Пр. состоит из 4-ех составляющих частей: 1) объект ( отношения охраняемая УК - ст. 116 УК побои, потерпевший - Вы) . 2) Объ. сторона (общественно опасное деяние - ваш сосед нанес вам побоев ).3) субъект (ваш сосед физический, вменяемый лицо достигшее 16- лет) . 4) субъе. . сторон (вина в форме прямого умысла - сосед осознавал что вас бьет и желал этого) .
Действия (бездействие) и решения органа дознания, дознавателя, начальника подразделения дознания, следователя, руководителя следственного органа могут быть обжалованы к прокурору или руководителю следственного органа с жалобой, которая должна Прокурор, руководитель следственного органа рассматривает жалобу в течение 3 суток со дня ее получения. В исключительных случаях, когда для проверки жалобы необходимо истребовать дополнительные материалы либо принять иные меры, допускается рассмотрение жалобы в срок до 10 суток, о чем извещается заявитель. Заявитель должен быть незамедлительно уведомлен о решении, принятом по жалобе, и дальнейшем порядке его обжалования.