В каких случаях требуется согласие (либо мнение) ОБОИХ родителей

При выезде ребенка за границу с одним из родителей согласие второго родителя не требуется до тех пор пока от второго родителя не поступило заявление оформленное по всем правилам Постановления Правительства РФ о несогласие выезда его детей за границу. - это если вы выезжаете на отдых. Если за границу на ПМЖ, то согласие второго родителя обязательно.
При смене фамилии ребенку учитывается мнение второго родителя п. 2ст. 59 СК РФ, при усыновлении /удочерении/ необходимо согласие второго родителя-ст. 129 СК РФ.
Участие в воспитании, выборе учебного заведения.

при выезде на ПМЖ- обязательно

Для выезда за границу, мнения другого родителя не требуется, если ребенок едет в сопровождении одного из родителей, мнение (согласие) второго родителя, подразумевается исходя из норм СК РФ. если его мнение не совпадает с мнение второго родителя, то у него есть право заявить о своем несогласии на выезд ребенка в пограничные органы.

При выезде за границу с одним из родителей, согласие другого родителя ОБЯЗАТЕЛЬНО нотариально, хоть едете на 3 дня, на таможне Вас вернут обратно или ссадят с поезда (может и не ссадят, но нервы помотают изрядно) , никакой доверенности не нужно. А в согласии указавается, с кем ребенок едет, на какой срок и т. д.

Если ребенок собственник какого-либо имущества, например квартиры, то требуется заявление (согласие) обоих родителе, за исключением случаев, когда один из них лишен род. прав, ограничен в правах, признан безвестно отсутвующим или решением опекунского совета будет установлено, что оно уклоняется от воспитания!

Если например вы едите с ребенком а муж остается в стране то желательно иего разрешение на вывоз ребенка и нотариально заверенная доверенность естественно.