сын остался с папой. помогите решить вопрос!

Чё за бред?
При наличии детей в любом случае рзводит суд. Если нет спора - мировой судья, если есть - районый (гордской) суд. В решении должно быть указано место жительства ребёнка. И никаки дополнительных телодвижений не требуется.
Права на ребёнка оформлять не надо, они возникают с момента его рождения и оформлны свидетельством орождении.

В отдел опеки и попечительства пусть идет,
ему там всё скажут пошагово

Права у отца и так есть. Потому что он отец. если вы имеете ввиду иск об определении места жительства ребенка, то он подается в суд

Родители при разводе имеют равные права на ребенка. . Мама вполне имеет право общаться с сыном и может в любое время оспорить проживание ребенка с папой.
И только лишение прав лишит маму право на ребенка. Но для этого нужно серьезное основание.
А по другому - ни как.

Лучшее - враг хорошего. Как это родному отцу официально оформить права на своего ребёнка? Разве, что чек в магазине получить. Не мудрите. Есть свидетельство о рождении, есть решение суда о разводе, в котором указано, что спор о месте жительства ребёнка отсутствует, есть факт проживания ребёнка с отцом. Ничего дополнительно не требуется.

Согласно ч. 1 ст. 61 СК РФ, родители имеют равные права и несут равные обязанности в отношении своих детей. Эти права равные и в случае, если даже родители развелись. Так что ничего оформлять не надо. Порядок осуществления родительских прав родителем, проживающим отдельно от ребенка, регулируются ст. 66 СК РФ (гуглите, да воздастся вам: )
Кроме того, отец еще может подать на алименты (ст. 80 - 84 СК РФ) .

Мама в любом случае впоследствии сможет поставить вопрос об определении места жительства ребенка по месту её жительства. Права же у Вас с бывшей супругой равные: право воспитывать, общаться и т. д.