Может ли отец лишить мать родительских прав? На каких основаниях?

да, только через орган опеки и попечительства. Оснований много, пример, просто надлежащего ухода нет
Статья 69 Семейн. кодекса. Лишение родительских прав

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:
уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;
отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иного лечебного учреждения, воспитательного учреждения, учреждения социальной защиты населения или из аналогичных организаций;
(в ред. Федерального закона от 24.04.2008 N 49-ФЗ)
злоупотребляют своими родительскими правами;
жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;
являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;
совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей либо против жизни или здоровья супруга.

Все основания по лишению родительских прав изложены в ст. 69 СК РФ _лишение родительских прав, Прочтите данную статью. А так аморальный образ жизни, пьянки, гулянки, наркотики, оставления ребенка на долго одного дома без еды, без присмотра, жестокое обращение с детьми.

Может иск подать, а лишать суд будет по основаниям ст. 69 СК РФ

Может, если сумеет доказать, что она плохая мать. Т. е. - пьет, наркоманка, проститутка, не живет дома, не следит за ребенком. Я утрирую, но где-то так оно и бывает.