может ли ребёнок после развода проживать у родителей бывшей супруги без согласия отца она живёт не с ребёнком

Без согласия - может конечно, по факту. Если отца не устраивает это - пусть подаёт в суд

ребенок должен жить совместно с кем-то из родителей. Раз невозможно жить с матерью, пусть живет с отцом. Бабушка с дедом преимуществ перед родителями не имеют.
Другое дело, что если мать все-таки зарегистрирована совместно с ребенком, то отцу сложно будет что-то доказать

Проживать то он может, но вот если отец ребенка не согласен, то он имеет право подать иск в суд об определении места жительства ребенка с отцом. Лишении родительских прав мамы, так как мама не занимается ребенком, а оставила его на проживание своих родителей, также он имеет право обратиться в орган опеки и попечительства,

если ребенок живет у родителей мамы ребенка, то отец может забрать его себе, ведь он имеет равные права с матерью ребенка. но имеет преоритетное право перед бабушкой/дедушкой.
если он не забирает ребка к себе - то разрешения на то, что бы дети жили с бубшкой не нужно.

Ну они то не стали ребенку бывшие бабушка и дедушка.
И при чем тут отец! ! Не надо было разводиться!!

если муж обеспечит жену с ребенком деньгами, чтобы она не работала - то ребенок будет жить с мамой, а не с бабушкой-дедушкой

Здес задавать такие вопросы бесполезно.. . Тут куча муже-ненависниц с детьми которые напишут так как они хотят, а не как есть на самом деле ...Лучше обратитесь к юристу напрямую...